Question

【題目】如圖，已知線段，是線段上任意一點（不與點、重合），分別以、為邊，在的同側作等邊和，連接與交于點，連接．

當時，試求的正切值；

若線段是線段和的比例中項，試求這時的值；

記四邊形的面積為，當在線段上運動時，與是否成正比例，若成正比例，試求出比例系數；若不成正比例，試說明理由．

Answer 1

【答案】；， 與成正比例，比例系數為．

【解析】

(1) 根據等邊三角形的性質得出PC=BC,∠CPD=, PD//BC, 進而得出∠DBC的

正切值等于,即可得出答案;

(2) 利用線段CD是線段DE和DB的比例中項得出△DCE∽△BCD, 再利用相似三角形的性質得出即可;

(3)由AD//PC,PD//BC,得出

,

進而得出

,以及

即可得出比例系數.

∵等邊和，

∴，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

由已知，，

即，

又∵，

∴，

∴，

又∵，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，即點是線段的黃金分割點．

∴，

又∵，

∴，設，，

∴，，

因為，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

作，

則，，

∴，

∴，

∴與成正比例，比例系數為．