Question

如圖，已知直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點C，在MN上是否存在點D，使AB•CD=AC•BC（　　）

• A、不存在
• B、存在一點
• C、存在二點
• D、存在無數點

Answer 1

分析：存在兩個點D，使AB•CD=AC•BC成立，要證明乘積的形式通常可以轉化為比例的形式：①

AB

AC

=

BC

CD

，此時需證Rt△ABC∽Rt△ACD，那么過A作MN的垂線，那么垂足即為符合條件的D點；②

AB

BC

=

AC

CD

，此時需證Rt△ABC∽Rt△CBD，則過B作MN的垂線，垂足也符合D點的條件．兩者的證明過程一致，都是通過弦切角得出一組對應角相等，再加上一組直角得出三角形相似．

解答：解：存在符合條件的點D，使AB•CD=AC•BC，
證明：①過A作AD⊥MN于D，則AB•CD=AC•BC
證明：∵MN是半圓的切線，且切點為C，
∴∠ACD=∠B，
∵AB為半圓的直徑，又AD⊥MN，
∴∠ADC=∠ACB=90°
∴△ABC∽△ACD，
∴

AB

BC

=

AC

CD

，即AB•CD=AC•BC；
②過B作BD⊥MN于D，則AB•CD=AC•BC，
證明：∵MN是半圓的切線，且切點為C，
∴∠BCD=∠A，
∵AB為半圓的直徑，又BD⊥MN，
∴∠BDC=∠ACB=90°，
∴△ABC∽△CBD，
∴

AB

AC

=

CB

CD

，即AB•CD=AC•BC，
因此MN上存在兩個點D，使AB•CD=AC•BC．
故選C

點評：本題考查了圓周角定理，弦切角定理及相似三角形的判定和性質，其中弦切角定理為：圓的弦切角等于夾弧所對的圓周角．要求學生能夠熟練掌握相似的判斷和性質并應用，考查了分類討論及數形結合的思想，培養了學生分析問題，解決問題的能力．