Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2，E，F分別是AB，BC的中點，AF與DE，DB分別交于點M，N，則△DMN的面積是

1. A.
   8
2. B.
   12
3. C.
   
4. D.
   15

Answer 1

A
分析：根據正方形的性質以及中點的定義得到AD=AB=2，AE=BF=，利用勾股定理計算出DE=AF=5，易證得△ADE∽△BAF，得到∠ADE=∠BAF，則有∠ADM+∠DAM=90°，利用面積相等得到AM•DE=AE•AD，可到AM=2，再根據勾股定理計算DM=4，由AD∥CB，根據平行線分線段成比例定理得到AN：NF=AD：BF=2：1，于是AN=AF=，然后利用S_△DMN=S_△AND-S_△AMD進行計算即可．
解答：∵正方形ABCD的邊長為2，E，F分別是AB，BC的中點，
∴AD=AB=2，AE=BF=，
∴DE=AF==5，
∴△ADE∽△BAF，
∴∠ADE=∠BAF，
而∠BAF+∠DAM=90°，
∴∠ADM+∠DAM=90°，
∴AM•DE=AE•AD，即AM×5=×2，
∴AM=2，
∴DM==4，
∵AD∥CB，
∴AN：NF=AD：BF=2：1，
∴AN=AF=，
∴S_△DMN=S_△AND-S_△AMD=×4×-×4×2=8．
故選A．
點評：本題考查了平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，截得的線段對應成比例．也考查了正方形的性質以及勾股定理．