Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D是邊AB上的一點，且∠A=2∠DCB.E是BC上的一點，以EC為直徑的⊙O經過點D。

1.求證:AB是⊙O的切線；

2.若CD的弦心距為1,BE=ED.求BD的長.

 

Answer 1

【答案】

 

1.證明：連結OD，

∵∠DOB=2∠DCB

又∵∠A=2∠DCB

∴∠A=∠DOB

又∵∠A+∠B=90°

∴∠DOB+∠B=90°

∴∠BDO=90°

∴OD⊥AB

∴AB是⊙O的切線 （5分）

2.解法一：

過點O作OM⊥CD于點M

∵OD=OE=BE=BO

∠BDO=90°

∴∠B=30°∴∠DOB=60°

∴∠DCB=30°OD=OC=2OM=2

∴BO=4,∴BD=（10分）

（2）解法二：

過點O作OM⊥CD于點M，連結DE,

∵OM⊥CD，∴CM=DM

又∵OC=OE∴DE=2OM=2

∵Rt△BDO中，OE=BE∴DE=BO

∴BO=4，∴OD=OE=2，∴ BD=

【解析】（1）連接OD，如圖1所示，由OD=OC，根據等邊對等角得到一對角相等，再由∠DOB為△COD的外角，利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和，等量代換可得出∠DOB=2∠DCB，又∠A=2∠DCB，可得出∠A=∠DOB，又∠ACB=90°，可得出直角三角形ABC中兩銳角互余，等量代換可得出∠B與∠ODB互余，即OD垂直于BD，確定出AB為圓O的切線，得證；

（2）法1：過O作OM垂直于CD，根據垂徑定理得到M為DC的中點，由BD垂直于OD，得到三角形BDO為直角三角形，再由BE=OE=OD，得到OD等于OB的一半，可得出∠B=30°，進而確定出∠DOB=60°，又OD=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由∠DOB為三角形DOC的外角，利用外角的性質及等量代換可得出∠DCB=30°，在三角形CMO中，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到OC=2OM，由弦心距OM的長求出OC的長，進而確定出OD及OB的長，利用勾股定理即可求出BD的長；

法2：過O作OM垂直于CD，連接ED，由垂徑定理得到M為CD的中點，又O為EC的中點，得到OM為三角形EDC的中位線，利用三角形中位線定理得到OM等于ED的一半，由弦心距OM的長求出ED的長，再由BE=OE，得到ED為直角三角形DBO斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，由DE的長求出OB的長，再由OD及OB的長，利用勾股定理即可求出BD的長．