Question

（2009•成都）某大學畢業生響應國家“自主創業”的號召，投資開辦了一個裝飾品商店．該店采購進一種今年新上市的飾品進行了30天的試銷售，購進價格為20元/件．銷售結束后，得知日銷售量P（件）與銷售時間x（天）之間有如下關系：P=-2x+80（1≤x≤30，且x為整數）；又知前20天的銷售價格Q₁（元/件）與銷售時間x（天）之間有如下關系：Q₁=x+30（1≤x≤20，且x為整數），后10天的銷售價格Q₂（元/件）與銷售時間x（天）之間有如下關系：Q₂=45（21≤x≤30，且x為整數）．
（1）試寫出該商店前20天的日銷售利潤R₁（元）和后10天的日銷售利潤R₂（元）分別與銷售時間x（天）之間的函數關系式；
（2）請問在這30天的試銷售中，哪一天的日銷售利潤最大？并求出這個最大利潤．
注：銷售利潤=銷售收入-購進成本．

Answer 1

【答案】分析：（1）運用營銷問題中的基本等量關系：銷售利潤=日銷售量×一件銷售利潤．一件銷售利潤=一件的銷售價-一件的進價，建立函數關系式；
（2）分析函數關系式的類別及自變量取值范圍求最大值；其中R₁是二次函數，R₂是一次函數．
解答：解：（1）根據題意，得
R₁=P（Q₁-20）=（-2x+80）[（x+30）-20]，
=-x²+20x+800（1≤x≤20，且x為整數），
R₂=P（Q₂-20）=（-2x+80）（45-20），
=-50x+2000（21≤x≤30，且x為整數）；

（2）在1≤x≤20，且x為整數時，
∵R₁=-（x-10）²+900，
∴當x=10時，R₁的最大值為900，
在21≤x≤30，且x為整數時，
∵R₂=-50x+2000，-50＜0，R₂隨x的增大而減小，
∴當x=21時，R₂的最大值為950，
∵950＞900，
∴當x=21即在第21天時，日銷售利潤最大，最大值為950元．
點評：本題需要反復讀懂題意，根據營銷問題中的基本等量關系建立函數關系式，根據時間段列出分段函數，再結合自變量取值范圍分別求出兩個函數的最大值，并進行比較，得出結論．