Question

如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，點O是AB的中點，點P在AB的延長線上，且BP=3．一動點E從O點出發，以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動，到達A點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點F從P點出發，以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運動，點E、F同時出發，當兩點相遇時停止運動，在點E、F的運動過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側．設運動的時間為t秒（t≥0）．
（1）當等邊△EFG的邊FG恰好經過點C時，求運動時間t的值；
（2）在整個運動過程中，設等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數關系式和相應的自變量t的取值范圍；
（3）設EG與矩形ABCD的對角線AC的交點為H，是否存在這樣的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當邊FG恰好經過點C時，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；
（2）按照等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的圖形特點，分為0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四種情況，分別寫出函數關系式；
（3）存在．當△AOH是等腰三角形時，分為AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三種情況，分別畫出圖形，根據特殊三角形的性質，列方程求t的值．
解答：解：（1）當邊FG恰好經過點C時，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，BC=2，tan∠CFB=，
即tan60°=，即=，
解得t=1，
∴當邊FG恰好經過點C時，t=1；

（2）如圖1，過點M作MN⊥AB于點N，
當0≤t＜1時，
∵tan60°===，
∴EN=2，
EB=3+t，NB=3+t-2=1+t，
∴MC=1+t，
S=（MC+EB）×BC=2t+4；

如圖2，當1≤t＜3時，
∵MN=2，EF=OP=6，
∴GH=6×=3，
∴=，
∴MK=2，
∵EB=3+t，BF=3-t，BQ=BF=（3-t），
CQ=2-BQ=t-，
∴S=S_梯形MKFE-S_△QBP=-t²+3t+；


當3≤t＜4時，
∵MN=2，EF=6-2（t-3）=12-2t，
∴GH=（12-2t）×=6-t，
∴，
∴MK=8-2t，
S=-4t+20；

如圖4，當4≤t＜6時，
∵EF=12-2t，
高為：EF•sin60°=EF，
S=t²-12t+36；
綜上所述，S=；

（3）存在．
理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB==，
∴∠CAB=30°，
又∵∠HEO=60°，
∴∠HAE=∠AHE=30°，
∴AE=HE=3-t或t-3，
1）當AH=AO=3時，（如圖5），過點E作EM⊥AH于M，
則AM=AH=，
在Rt△AME中，cos∠MAE=，
即cos30°=，
∴AE=，即3-t=或t-3=，
∴t=3-或t=3+，

2）當HA=HO時，（如圖6）則∠HOA=∠HAO=30°，
又∵∠HEO=60°，
∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
又∵AE+EO=3，
∴AE+2AE=3，AE=1，
即3-t=1或t-3=1，
∴t=2或t=4；

3）當OH=OA時，（如圖7），則∠OHA=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，
∴點E和點O重合，
∴AE=AO=3，
當E剛開始運動時3-t=3，
當點E返回O時是：t-3=3，
即3-t=3或t-3=3，t=6（舍去）或t=0；

綜上所述，存在5個這樣的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3-或t=3+或t=2或t=4或t=0．
點評：本題考查了特殊三角形、矩形的性質，相似三角形的判定與性質，解直角三角形的有關知識．關鍵是根據特殊三角形的性質，分類討論．