Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+14k（k＞0）分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點B的直線交x軸正半軸于點C（7，0），且OB²=OA•OC．
（1）求直線AB的解析式；
（2）點P為線段AB上一點（P不與A、B重合）．過點P作BC的平行線分別交x軸、y軸于D、E．設P點的橫坐標為m，線段DE的長為d，求d與m的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，過點P作PF⊥x軸，垂足為F，若△PEF與△ABC相似，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，先根據題干條件求出A點和B點的坐標，然后根據兩點坐標列出一個二元一次方程組，求出k和b的值；
（2）作PG∥AC交BC于點G，用m表示出P和G點的坐標，再證明四邊形PGCD是平行四邊形，用m表示出OD，結合DE=OD，列出d與m的函數關系式；
（3）作PH⊥BO，用m表示出PE的長，再利用△PFE∽△CBA或△PFE∽△CAB，列出比例等式，求出m的值即可．
解答：解：（1）∵直線y=kx+14k交x軸于A點，
∴A（-14，0），
又∵C（7，0），且OB²=OA•OC，
∴B點坐標為（0，7）
設直線AB的解析式為y=kx+b，
，
∴，
∴直線AB的解析式為y=x+7；

（2）方法（1）作PG∥AC交BC于點G，
∵P點的橫坐標為m，
∴P（m，m+7），
P點、G點有相同的縱坐標，
∴G（-m，m+7），
∴PG=-m-m=-m，
∵PG∥AC，PE∥BC，
∴四邊形PGCD是平行四邊形，
①如圖1，OD=CD-OC=-m-7，
又∵△DOE為等腰直角三角形，
∴DE=OD，
∴DE=-m-7（-14＜m＜-），
②如圖2，OD=CD-OC=7+m，
∴DE=OD，
∴DE=m+7（-＜m＜0），
方法（2）作PM⊥AO，
∵OB=OC=7，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
又∵PE∥BC，
∴△DOE、△PMD都是等要直角三角形，
∵P點的橫坐標為m，
∴P（m，m+7），
∴PM=MD=m+7，OM=-m，
①如圖3，OD=OM-MD=-m-（m+7），
∴OD=-m-7，
又∵DE=OD，
∵DE=-m-7（-14＜m＜-），
②如圖4，OD=OM-MD=m+7+m，OD=m+7，
∵DE=OD，
∴DE=m+7（-＜m＜0）；

（3）作PH⊥BO，
∵PE∥BC，
∴∠FPE=45°，
∴∠FPE=∠BCA=45°，
∴PE=-m，
①如圖5，若△PFE∽△CBA，
∴=，
∴=，
解得m=-6，
②如圖6，若△PFE∽△CAB，
∴=，
∴=，
解得m=-2，
綜上所述，當m=-6或m=-2時，△PEF與△ABC相似．
點評：本題主要考查一次函數的綜合題的知識點，解答本題的關鍵是熟練利用數形結合進行解答，此題的圖較多，利用圖形把抽象的文字語言很清楚的表達出來，另外此題還考查了分類討論的解題思路，此題有一定的難度．