Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，動點P從A出發沿AC邊向點C以每秒3個單位長的速度運動，動點Q從C點出發，沿著CB邊向點B以每秒4個單位長的速度運動．P、Q分別從A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．在運動過程中，△PCQ關于直線PQ對稱的圖形是△PDQ．設運動時間為t（秒）．
（1）設四邊形PCQD面積為y，求y與t的函數關系式；
（2）t為何值時，△PCQ與△ABC相似；
（3）如圖2，以C點為原點，邊CB、CA所在直線分別為x軸、y軸建立直角坐標系，當PD∥AB時，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據折疊的性質可知：四邊形PCQD的面積是△PCQ面積的2倍，因此只要求出△PCQ的面積即可得出四邊形PCQD的面積．可根據P、Q的速度用時間t表示出PC和CQ的長，然后根據三角形的面積公式即可得出△PCQ的面積表達式，也就能求出y，t的函數關系式；
（2）分兩種情況考慮：△PCQ∽△ACB與△PCQ∽△BCA，根據相似得出比例式，把CP=12-3t，CQ=4t，AC=12及BC=16分別代入即可求出相應的時間t的值；
（3）若PD∥AB，延長PD交BC于點M．在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AB=20；易證明Rt△QMD∽Rt△ABC，然后根據相似三角形的對應邊成比例求得QM=t，再由CQ+QM表示出CM，由PD與AB平行，根據兩直線平行得到兩對同位角相等，從而得出三角形PCM與三角形ABC相似，由相似得比例，把CM，CP，CA及CB的長代入列出關于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而確定出CP，PD及CQ的長，進而確定出PM的長，得出DM的長，過D作x軸的垂直交x軸于N，由DM與AB平行得出兩對同位角相等，可得三角形DMN與三角形ABC相似，根據相似得比例，可求出MN及DN的長，進而得出CN的長，得出點D的坐標．
解答：解：（1）由題意知CQ=4t，PC=12-3t
∴S_△PCQ=PC•CQ=-6t²+24t
∵△PCQ與△PDQ關于直線PQ對稱
∴y=2S_△PCQ=-12t²+48t；

（2）若△PCQ∽△ACB，
∴=，即，
解得：t=2；
若△PCQ∽△BCA，
∴=，即，
解得：t=1.44，
綜上，t為2秒或1.44秒時，△PCQ與△ABC相似；

（3）設某一時刻t，PD∥AB，延長PD交BC于點M，如圖，
若PD∥AB，則∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC
從而 ，
∵QD=CQ=4t，AC=12，
AB==20，
∴QM=，
∵PD∥AB，
∴∠CPM=∠A，∠PMC=∠B，
∴△PCM∽△ACB，
∴，即，
解得t=，
則PC=PD=12-3t=，CQ=4t=，
∴，即=，
解得：DM=，
又∵DM∥AB，
∴∠DMN=∠B，
又∵∠DNM=∠C=90°，
∴△DNM∽△ACB，
∴，即==，
解得：DN=，MN=，
又∵CM=4t+t=，
則CN=CM-MN=．
所以D的坐標為（，）．
點評：此題考查了折疊的性質，相似三角形的判定與性質，以及勾股定理，本題是一道動態幾何題，綜合性較強，區分度較大，有一定的難度．鍛煉了學生利用關系式求值的運算技能和從情景中提取信息、解釋信息、解決問題的能力，同時運用的數學思想主要是數學建模思想．本題的第三問計算量比較大，其中確定出PD∥AB時t的值是解題的關鍵．