Question

如圖，A、B兩點的坐標分別為（-3，0）、（0，3），C點在x軸的正半軸上，且到原點的距離為1．點P、Q分別從A、B兩點同時出發，以相同的速度分別向x軸、y軸的正方向作勻速直線運動，直線PQ交直線AB于D．
（1）求經過A、B、C三點的拋物線及直線AB解析式；
（2）設AP的長為m，△PBQ的面積為S，求出S關于m的函數關系式．
（3）作PE⊥AB于E，當P、Q運動時，線段DE的長是否改變？若改變請說明理由，若不改變，請求出DE的長；
（4）有一個以AB為邊的，且由兩個與△AOB全等的三角形拼結而成的平行四邊形ABST，試求出T點的坐標（畫出圖形，直接寫出結果，不需求解過程）．

Answer 1

分析：（1）先求出點C的坐標，然后設拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），然后利用待定系數法求二次函數解析式解答，設直線AB的解析式為y=kx+n（k≠0），再利用待定系數法求一次函數解析式解答；
（2）表示出OP，然后根據三角形的面積公式列式整理即可得解；
（3）根據點A、B的坐標求出△AOB是等腰直角三角形，然后求出∠OAB=∠OBA=45°，過點Q作QF⊥AB交AB的延長線于F，根據對頂角相等可得∠QFB=45°，從而得到∠QBF=∠PAE，然后利用“角角邊”證明△APE和△BQF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=BF，PE=QF，再利用“角角邊”證明△DEP和△DFQ全等，根據全等三角形對應邊相等可得DE=DF，整理即可得到DE=

1

2

AB；
（4）分AO、BO是平行四邊形的邊兩種情況作出圖形，再根據平行四邊形的對邊平行且相等解答．

解答：解：（1）由題意得，C（1，0），
設拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
則

9a-3b+c=0 c=3 a+b+c=0

，
解得

a=-1 b=-2 c=3

，
∴設拋物線解析式為y=-x²-2x+3，
設直線AB的解析式為y=kx+n（k≠0），
則

-3k+n=0 n=3

，
解得

k=1 n=3

，
∴直線AB的解析式為y=x+3；

（2）∵AP的長為m，點P、Q的速度相同，
∴OP=3-m，AP=QB=m，
∴△PBQ的面積為S=

1

2

QB•OP=

1

2

m（3-m）=-

1

2

m²+

3

2

m，
故S關于m的函數關系式為：S=-

1

2

m²+

3

2

m；

（3）∵A（-3，0）、B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
過點Q作QF⊥AB交AB的延長線于F，
則∠QFB=∠ABO=45°，
∴∠QBF=∠PAE，
在△APE和△BQF中，

∠QBF=∠PAE ∠AEP=∠F=90° AP=QB

，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF，
在△DEP和△DFQ中，

∠AEP=∠F=90° ∠PDE=∠QDF PE=QF

，
∴△DEP≌△DFQ（AAS），
∴DE=DF，
∵AB=AE+DE+DB=BF+DE+DB=2DE，
∴DE=

1

2

AB，
在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

32+32

=3

2

，
∴DE=

3 2

2

；


（4）如圖，AO是平行四邊形的邊時，點T與坐標原點重合，所以，點T的坐標是（0，0），
BO是平行四邊形的邊時，AT=OB=3，所以，點T的坐標是（-3，-3）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求函數解析式（包括二次函數解析式和一次函數解析式），三角形的面積，等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，難點在于（3）作輔助線構造出全等三角形．