Question

在△ABC中，∠ACB＝45°．點D(與點B、C不重合)為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．

(1)如果AB＝AC．如圖，且點D在線段BC上運動．試判斷線段CF與BD之間的位置關系，并證明你的結論．

(2)如果AB≠AC，如圖，且點D在線段BC上運動．(1)中結論是否成立，為什么？

(3)若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P，設AC＝，BC＝3，CD＝x，求線段CP的長．(用含x的式子表示)

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)CF與BD位置關系是垂直；

　　證明如下：AB＝AC，∠ACB＝45°，∴∠ABC＝45°．

　　由正方形ADEF得AD＝AF，∵∠DAF＝∠BAC＝90°，

　　∴∠DAB＝∠FAC，∴△DAB≌△FAC，∴∠ACF＝∠ABD．

　　∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°．即CF⊥BD．

　　(2)CF⊥BD．(1)中結論成立．

　　理由是：過點A作AG⊥AC交BC于點G，∴AC＝AG

　　可證：△GAD≌△CAF　∴∠ACF＝∠AGD＝45°

　　∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°．即CF⊥BD

　　(3)過點A作AQ⊥BC交CB的延長線于點Q，

　　①點D在線段BC上運動時，

　　∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4．∴DQ＝4－x，

　　易證△AQD∽△DCP，∴，∴，

　　．

　　②點D在線段BC延長線上運動時，

　　∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4，∴DQ＝4＋x．

　　過A作交CB延長線于點G，則．CF⊥BD，

　　△AQD∽△DCP，∴，∴，

　　．