Question

已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，直線EF經過點C，分別交AB、AD的延長線于E、F兩點，連接ED、FB相交于點H．
（1）如果菱形的邊長是3，DF=2，求BE的長；
（2）請你在圖中找到一個與△BDF相似的三角形，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）可證△EBC與△EAF相似，通過相似三角形的性質可得出DE的長．
（2）根據相似三角形的判定定理可得，找出條件即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，且邊長為3，
∴AB=BC=AD=3，BC∥AD．
∴△EBC∽△EAF．（1分）
∴

BE

EA

=

BC

AF

．
∵DF=2，AD=3，
∴AF=5．（2分）
∴

BE

BE+3

=

3

5

．
∴BE=

9

2

．（3分）

（2）△EBD與△BDF相似．（4分）
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，CD∥AB．
∴

EB

AB

=

EC

CF

，

EC

CF

=

AD

DF

．
∴

EB

AB

=

AD

DF

．（5分）
又∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=AB=AD，∠ABD=∠ADB=60°．
∴

EB

BD

=

BD

DF

，∠EBD=∠BDF=120°．
∴△EBD∽△BDF．（6分）

點評：此題考查了相似三角形的判定和性質，①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．相似三角形的對應邊的比相等，對應角相等．