Question

如圖，拋物線y=-x²+5x+m經過點A（1，0），與y軸交于點B，
（1）求m的值；
（2）若拋物線與x軸的另一交點為C，求△CAB的面積；
（3）P是y軸正半軸上一點，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把點A的坐標代入拋物線方程即可；
（2）分別令x，y為0，求出點B，C的坐標，根據圖象即可算出△CAB的面積；
（3）根據等腰三角形的性質，點O為PB中點，即可求出點P的坐標．
解答：解：（1）根據題意，把點A的坐標代入拋物線方程得：
0=-1+5+m，即得m=-4；

（2）根據題意得：
令y=0，即-x²+5x-4=0，解得x₁=1，x₂=4，
∴點C坐標為（4，0）；
令x=0，解得y=-4，
∴點B的坐標為（0，-4）；
∴由圖象可得，△CAB的面積S=×OB×AC=×4×3=6；

（3）根據題意得：
①當點O為PB的中點，設點P的坐標為（0，y），（y＞0）
則y-4=0，即得y=4，
∴點P的坐標為（0，4）．
②當AB=BP時，AB=，
∴OP的長為：-4，
∴P（0，-4），
∴P（0，-4），或（0，4）
點評：本題考查了待定系數法求二次函數解析式，以及幾何圖象的特征的應用，是基礎題型，也是常考題型．