Question

如圖，已知矩形OABC，以點O為坐標原點建立平面直角坐標系，其中A（2，0），C（0，3），點P以每秒1個單位的速度從點C出發在射線CO上運動，連接BP，作BE⊥PB交x軸于點E，連接PE交AB于點F，設運動時間為t秒．
（1）當t=2時，求點E的坐標；
（2）若AB平分∠EBP時，求t的值；
（3）在運動的過程中，是否存在以P、O、E為頂點的三角形與△ABE相似．若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先求出AB=AE，再求出DE=5，即可求出點E的坐標．
（2）本題需先求出CP=CB=2，即可求出t的值．
（3）本題需先證出△BCP∽△BAE，求出AE=t，再證出△POE∽△PCB，求出t的值，再求出OP的長，即可求出P的坐標．
解答：解：（1）當t=2時，PC=2，
∵BC=2，
∴PC=BC，
∴∠PBC=45°，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEB=45°，
∴AB=AE=3，
，
∴點E的坐標是（5，0）；

（2）當AB平分∠EBP時，
∠PBF=45°，
則∠CBP=∠CPB=45°，
，
∴t=2；

（3）存在，
∵∠ABE+∠ABP=90°，
∠PBC+∠ABP=90°，
∴∠ABE=∠PBC，
∵∠BAE=∠BCP=90°，
∴△BCP∽△BAE，
∴，
∴，
∴，
∵若△POE∽△PCB，
∴，
∴=，
∴t₁=，
t₂=（舍去），
∴P的坐標為（0，）．
點評：本題主要考查了相似三角形的性質與判定，在解題時要根據已知條件再結合圖形是解題的關鍵，這是一道好題．