Question

設x，y為實數，滿足x+y=1，，則x²+y²的值是________．

Answer 1

2
分析：根據完全平方公式有（x²+y²）²=x⁴+y⁴+2x²y²，把x⁴+y⁴=，且設x²+y²=t＞0，則t²=2x²y²+，再把x+y=1兩邊平方得到x²+2xy+y²=1，則xy=，這樣可得到關于t的一元二次方程t²=2•（）²+，整理、解方程得到t₁=2，t₂=-4，然后根據x²+y²=t＞0檢驗即可得到x²+y²的值．
解答：∵（x²+y²）²=x⁴+y⁴+2x²y²，
而x⁴+y⁴=，
設x²+y²=t＞0，
∴t²=2x²y²+，
又∵x+y=1，
∴（x，+y）²=x²+2xy+y²=1，
∴xy=，
∴t²=2•（）²+，
∴t²+2t-8=0，即（t-2）（t+4）=0，
∴t₁=2，t₂=-4，
當t=-4時，x²+y²=-4無意義，
∴t=2，即x²+y²=2．
故答案為2．
點評：本題考查了完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²．也考查了利用因式分解法解一元二次方程以及換元法思想的運用．