Question

親愛的同學，你準備好了嗎？讓我們一起進行一次研究性學習：研究用一條直線等分幾何圖形的面積．我們很容易發現這樣一個事實：
如圖①，對于三角形ABC，取BC邊的中點D，過A，D兩點畫一條直線，即可把△ABC分為面積相等的兩部分．

（1）如圖②，對于平行四邊形ABCD，如何畫一條直線把平行四邊形ABCD分為面積相等的兩部分．
答：______（寫出一種方案即可）．理由是：______．
（2）受上面的啟發，請你研究以下兩個問題：
①如圖③，一塊平行四邊形的稻田里有一個圓形的蓄水池，現要從蓄水池引一條筆直的水渠，并使蓄水池兩側的稻田面積相等，請你畫出你的設計方案，保留作圖痕跡，不必說明理由．
②某農業研究所有一塊梯形形狀的實驗田如圖3④，準備把這塊實驗田種上面積相同的西紅柿和青椒（都是新品種），應該如何分割，請你分別在圖3④、圖3⑤中設計兩種不同的分割方案，并說明理由．

Answer 1

解：（1）連接兩對角線AC、BD交于點O，過O點任作一直線MN即可（如圖）．
（不妨設該直線與AD、BC分別交于點M、N）
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠MAO=∠NCO，
又∵∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON．
∴S_△AMO=S_△CNO．
同理得S_△MOD=S_△NOB．
又易得S_△AOB=S_△COD，
所以S_{四邊形MNCD}=S_{四邊形ABNM}．

（2）①如圖，
②
方案一：分別取AD、BC的中點E、F，連接EF，線段EF就是所求作的分割線．
理由：∵AE=ED，BF=FC，
∴S_{四邊形ABEF}=（AE+BF）•h，
=（ED+FC）•h，
=S_{四邊形EFCD}，

方案二：連接AC，取中點O，連接BO、OD，折線BOD可以把梯形分割為兩個面積相等的圖形．
理由：∵AO=OC，∴S_△AOB=S_△BOC，S_△DOC=S_△ADO，
∴S_△AOB+S_△AOD=S_△BOC+S_△DOC．

分析：（1）利用平行四邊形的性質得出即可得出連接兩對角線AC、BD交于點O，過O點任作一直線MN即可，再利用△AOM≌△CON得出即可；
（2）①找到水池圓心以及平行四邊形對角線交點即可得出答案；
②分別取AD、BC的中點E、F，連接EF，線段EF就是所求作的分割線或連接AC，取中點O，連接BO、OD，折線BOD可以把梯形分割為兩個面積相等的圖形．
點評：此題主要考查了應用與設計作圖中分割圖形面積，利用三角形中線能平分三角形面積得出是解題關鍵．