Question

如圖，射線BN、AM都垂直于線段AB，E為AM上一動點，⊥于F，交BN于C，⊥于，連接BD．

⑴求證： ；

⑵當為的中點時，求證： 

；

⑶設，請探究出使為

等腰三角形的實數的值．

【解析】(1)中利用⊥

得到直角三角形AEF相似于三角形ABE，然后得到結論。

（2）中，

由⑴有，因為為的中點，所以

則可以得到

從而的得到角相等

（3）中，設，當使為

等腰三角形時，需要考查誰是腰，分類討論得到

①為腰，且為頂角頂點；

②為腰，且為頂角頂點；

③為底．

①為腰，且為頂角頂點；

解得答案為

 

Answer 1

【答案】

⑴4分，證明略．

⑵4分，由⑴有，因為為的中點，所以，則，又因為，所以，則．

⑶4分．，（同樣算對）

探究出一個解，得1分；探究出兩個解共得2分；探究出三個解共得4分；

以下解法供參考

要使為等腰三角形，分三種情況討論，

①為腰，且為頂角頂點；

②為腰，且為頂角頂點；

③為底．

①為腰，且為頂角頂點；

由⑵當為的中點時，可知，又易知四邊形為矩形，所以，又易知，所以；又由四邊形為矩形可知，，所以，從而，于是，則為等腰三角形，此時；

②為腰，且為頂角頂點；

此時，，容易得到，則點為黃金分割點，；

③為底．

此時，，容易得到，不難得到四邊形為正方形，