Question

【題目】如圖，已知為的直徑，，點和點是上關于直線對稱的兩個點，連接、，且，直線和直線相交于點，過點作直線與線段的延長線相交于點，與直線相交于點，且．

（1）求證：直線為的切線；

（2）若點為線段上一點，連接，滿足，

①求證：；

②求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②5．

【解析】

（1）由題意可知：∠CAB＝∠GAF，由圓的性質可知：∠CAB＝∠OCA，所以∠OCA＝∠GCE，從而可證明直線CG是⊙O的切線；

（2）①由于CB＝CH，所以∠CBH＝∠CHB，易證∠CBH＝∠OCB，從而可證明△CBH∽△OBC；

②由△CBH∽△OBC可知：，所以，由于BC＝HC，所以，利用二次函數的性質即可求出OH＋HC的最大值．

（1）由題意可知：，

∵是的直徑，

∴

∵

∴，

∴，

∵

∴，

∵是的半徑，

∴直線是的切線；

（2）①∵，

∴，

∵，

∴，

∴

②由可知：

∵，

∴，

∴

∴

∵

∴，

當，此時

∵，

∴，

令,

∴

當時，

∴可取得最大值，最大值為5．