Question

（2009•懷柔區二模）已知：如圖所示，反比例函數y=與直線y=-x+2只有一個公共點P，則稱P為切點．
（1）若反比例函數y=與直線y=kx+6只有一個公共點M，求當k＜0時兩個函數的解析式和切點M的坐標；
（2）設（1）問結論中的直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點．將∠ABO沿折痕AB翻折，設翻折后的OB邊與x軸交于點C．
①直接寫出點C的坐標；
②在經過A、B、C三點的拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使以P、O、M、C為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為兩函數只有一個公共點，將關于兩個函數解析式的方程組轉化為一元二次方程，令△=0即可求出k的值．進而求出兩函數的解析式及M點的坐標．
（2）①根據直線解析式，先求出A、B兩點坐標，再根據翻折變換的性質，得∠OBA=∠ABC，根據三角形內角平分線的性質定理，求出AC的長，易得C點坐標．
②由于A、C在x軸上，且A、C關于拋物線對稱軸對稱，可求出拋物線對稱軸方程，根據P點的移動情況，可見有三種情況：一、當MP∥OC時，可根據M點縱坐標得到P點縱坐標；二、MO∥CP時，可根據直線MO的系數求出直線CP的系數，再將C點坐標代入，即可求得PC解析式，將對稱軸坐標代入解析式，即可求得P點坐標；三、可根據直線MC的系數求出直線CP的系數，由于OP過原點，即可求得OP解析式，將對稱軸坐標代入解析式，即可求得P點坐標．
解答：解：（1）因為反比例函數y=與直線y=kx+6只有一個公共點，
將y=代入y=kx+6得
kx²+6x+k=0，
由△=36-4k²=0
得k=±3．
又∵k＜0，
∴k=-3．
∴兩個函數的解析式分別為，和y=-3x+6．
∴點M的坐標為（1，3）．（2分）

（2）①如圖，y=-3x+6與x軸、y軸兩交點A、B的坐標分別為（2，0），（0，6）．
根據翻折不變性，∠OBA=∠ABC，
設AC=a，根據勾股定理，BC=，
根據三角形內角平分線性質定理，=，
解得a=或a=-2（負值舍去），
于是OC=2+
=，可求得點C的坐標為（，0）．（3分）
②存在點P滿足四邊形POMC為梯形．（4分）
又∵經過點A、B、C三點的拋物線的對稱軸為．（5分）
一、當MP₁∥OC時，P₁點的縱坐標為M點的縱坐標3，則P₁點的縱坐標為（，3），而此時OM與CP₁不平行．
二、當MO∥CP₂時，由于OM解析式為y=3x，設P₂C解析式為y=3x+b，
將C（，0）代入解析式
可得b=-，
則P₂C解析式為y=3x-，
當x=時，y=-，
則P₂點的坐標為（，），
經判斷，OP₂與MC不平行．（6分）
三、當MC∥OP₃時，由于CM解析式為y=-x+，則P₃O解析式為y=-x，
當x=時，y=-，則P₃點的坐標為（，），
經判斷，MO與CP不平行．（7分）
∴滿足條件的P點的坐標為（，3）、（，）和（，）．

點評：此題考查了一次函數、二次函數及反比例函數的性質，函數解析式組成的方程組的解的個數和函數圖象交點個數及根的判別式的關系．尤其是（3），結合梯形的性質和拋物線的性質，考查了點的存在性問題，要利用圖形進行分類討論．