Question

已知a、b、c都是整數，且對一切實數x，（x-a）（x-2002）-2=（x-b）（x-c）都成立，則這樣的有序數組（a，b，c）共有    組．

Answer 1

【答案】分析：首先將原式變形為x²-（a+2002）x+2002a-2=（x+b）（x+c），由題意可知b與c是方程x²-（a+2002）x+2002a-2=0①的兩整數根，又由a是整數，可得判別式△是完全平方數，則可求得a的值，問題的解．
解答：解：∵（x-a）（x-2002）-2=（x-b）（x-c），
∴x²-（a+2002）x+2002a-2=（x+b）（x+c），
∵對一切實數x，（x-a）（x-2002）-2=（x-b）（x-c）都成立，
∴b與c是方程x²-（a+2002）x+2002a-2=0①的兩整數根，
∵a是整數，
∴△=（a+2002）²-4（2002a-2）=（a-2002）²+8是完全平方，
令（a-2002）²+8=n²，這里n為正整數，n＞|a-2002|．
于是有（n+a-2002）（n-a+2002）=8，
或，
解得n=3，a=2001或2003；
從而方程①的兩根為：[（a+2002）±3]．
當a=2001時，方程①的兩根為2000，2003；
當a=2003時，方程①的兩根為2001，2004．故
滿足條件的有序組（a，b，c）共有如下4組：
（2001，2000，2003），（2001，2003，2000），（2003，2001，21304），（2003，2004.2001）．
故答案為：4．
點評：此題考查了判別式的知識，二元一次方程組以及完全平方數等知識．此題綜合性很強，注意得到判別式是完全平方數是解此題的關鍵．