Question

如圖，已知在△ABC中，若AC和BC邊的長是關于x的方程x²-（AB+4）x+4AB+8=0的兩個根，且25BC•sinA=9AB．求△ABC三邊的長？

Answer 1

分析：首先由根與系數的關系可以得到AC+BC=AB+4（1），AC•BC=4AB+8（2），然后由（1）²-2（2）得AC²+BC²=AB²，
然后利用勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形，且∠C=90°，接著利用三角函數可以得到

BC

AB

=sinA，
由25BC•sinA=9AB可以得到sinA•

BC

AB

=

9

25

，然后就可以求出sinA=

3

5

，也就求出

BC

AB

=

3

5

，設BC=3k，AB=5k，由勾股定理得AC=4k，這樣利用（1）即可解決問題．

解答：解：依題意得：AC+BC=AB+4（1）
AC•BC=4AB+8（2），
由（1）²-2（2）得：AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
在Rt△ABC中，

BC

AB

=sinA，
由題意得：sinA•

BC

AB

=

9

25

，
∵∠A是Rt△ABC的銳角，
∴sinA＞0，
∴sinA=

3

5

，
∴

BC

AB

=

3

5

，
設BC=3k，AB=5k，由勾股定理得AC=4k，
結合（1）式得4k+3k=5k+4，解之得：k=2．
∴BC=6，AB=10，AC=8．

點評：此題分別考查了根與系數的關系、勾股定理及逆定理、三角函數等知識，綜合性比較強，解題的關鍵是利用根與系數的關系和勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形．