Question

如圖，點E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點，、F是BC邊上一動點，線段DE和AF相交于點P，連接PC，過點A作AQ∥PC交PD于Q．
（1）證明：PC=2AQ；
（2）當點F為BC的中點時，試猜想PF=2AP是否成立？若成立，試說明理由；若不成立，試求的值．

Answer 1

解：（1）〖法一〗如圖1，連接AC交DE于點K，
∵AE∥DC，∴∠AEP=∠CDP，
又∠AKE=∠CKD，
∴△AKE∽△CKD，
∴．
∵AQ∥PC，
∴∠KAQ=∠PCK，
又∠AKQ=∠CKP，
∴△AKQ∽△CKP．
∴，
∵，
∴，
即PC=2AQ．

（1）〖法二〗如圖2，延長DE，CB相交于點R，作BM∥PC．
∵AQ∥PC，BM∥PC，
∴MB∥AQ．
∴∠AQE=∠EMB．
∵E是AB的中點，D、E、R三點共線，
∴AE=EB，∠AEQ=∠BEM．
∴△AEQ≌△BEM．
∴AQ=BM．
同理△AED≌△REB．
∴AD=BR=BC．
∵BM∥PC，
∴△RBM∽△RCP，
相似比是．
PC=2MB=2AQ．

（2）如圖3，當點F為BC的中點時，PF=2AP不成立．
作BN∥AF，交RD于點N．
則△RBN∽RFP．
∵F是BC的中點，
由（1）[法二]知：RB=BC，
∴RB=RF．
∴==
又AE=BE，∠NEB=∠PEA，∠NBE=∠PAE．
∴△BNE≌△APE，
∴AP=BN．
∴AP=BN=PF．
即=．
分析：（1）此題有兩種證法：〖法一〗如圖1，連接AC交DE于點K，根據AE∥DC．求證△AKE∽△CKD，再利用AQ∥PC，求證△AKQ∽△CKP．再利用其對應邊成比例即可證明結論．
（1）〖法二〗如圖2，延長DE，CB相交于點R，作BM∥PC，根據AQ∥PC，BM∥PC，和E是AB的中點，D、E、R三點共線，求證△AEQ≌△BEM．同理△AED≌△REB．再求證△RBM∽△RCP，利用其對應邊成比例即可證明結論．
（2）如圖3，當點F為BC的中點時，PF=2AP不成立．作BN∥AF，交RD于點N．根據△RBN∽RFP．利用F是BC的中點，RB=BC，可得==，又利用AE=BE，∠NEB=∠PEA，∠NBE=∠PAE．求證△BNE≌△APE即可．
點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質，平行四邊的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識點，難度較大，是一道中考壓軸題．