Question

如圖，已知A（4，0），點A₁、A₂、…、A_n-1將線段OAn等分，點B₁、B₂、…、B_n-1、B在直線y=0.5x上，且A₁B₁∥A₂B₂∥…∥A_n-1B_n-1∥AB∥y軸．記△OA₁B₁、△A₁A₂B₂、…、△A_n-2A_n-1B_n-1、△A_n-1AB的面積分別為S₁、S₂、…S_n-1、S_n．當n越來越大時，猜想S₁+S₂+…+S_n最近的常數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、4
• D、8

Answer 1

分析：根據題意可得出A₁（

4

n

，0），A₂（

8

n

，0），…，A_n-1（

4(n-1)

n

，0），B₁（

4

n

，

2

n

），B₂（

8

n

，

4

n

），…，B_n-1（

4(n-1)

n

，

2(n-1)

n

），B（4，2），從而得出△OA₁B₁、△A₁A₂B₂、…、△A_n-2A_n-1B_n-1、△A_n-1AB的面積分別為

1

2

×

4

n

×

2

n

；

1

2

×

4

n

×

4

n

；…；

1

2

×

4

n

×

2(n-1)

n

；

1

2

×

4

n

×2；則S₁+S₂+…+S_n=2+

2

n

，當n越來越大時，

2

n

接近于0，從而得出答案．

解答：解：∵A₁（

4

n

，0），A₂（

8

n

，0），…，A_n-1（

4(n-1)

n

，0），
B₁（

4

n

，

2

n

），B₂（

8

n

，

4

n

），…，B_n-1（

4(n-1)

n

，

2(n-1)

n

），B（4，2），
∴S₁=

1

2

×

4

n

×

2

n

；
S₂=

1

2

×

4

n

×

4

n

；
…；
S_n-1=

1

2

×

4

n

×

2(n-1)

n

；
S_n=

1

2

×

4

n

×2；
∴S₁+S₂+…+S_n=

1

2

×

4

n

×

2

n

+

1

2

×

4

n

×

4

n

+…+

1

2

×

4

n

×

2(n-1)

n

+

1

2

×

4

n

×2；
=

1

2

×

4

n

×

2+4+6+…+2n

n

；
=2+

2

n

，
∵當n越來越大時，

2

n

接近于0，
∴S₁+S₂+…+S_n最近的常數是2．
故選B．

點評：本題是一道規律性的題目，考查了一次函數，是綜合題，求得點A₁、A₂、…、A_n-1和點B₁、B₂、…、B_n-1、B坐標是解題的關鍵．