Question

2012年我市某水果銷售公司從泰國購進了一種高檔水果在四月份進行了一個月（30天）的試銷，購進價格為20元/公斤，銷售結束后，發現日銷售量P（公斤）與銷售時間x（天）之間滿足下列表格：（1≤x≤30，且x為整數）

銷售時間x	1	2	3	4	…
日銷售量P	78	76	74	72	…

已知前20天的銷售價格Q₁ （元/公斤）與銷售時間x（天）之間有如下關系：
Q₁=0.5x+30（1≤x≤20，且x為整數），后10天的銷售價格為Q₂（元/公斤）與銷售時間x（天）之間有如下關系：Q₂=x+20（21≤x≤30，且x為整數）．
（1）觀察表格，請用你所學過的一次函數、二次函數和反比例函數的有關知識直接寫出P與x所滿足的函數關系式；
（2）求出該公司在四月份前20天的日銷售利潤W₁和后10天的日銷售利潤W₂與銷售時間x的函數關系式．
（3）進入五月份，這種水果在臺灣大量上市，受此影響這種水果的購進價格每公斤降低了5元，同時公司也加大了宣傳力度，結果五月份第一天的銷售量比上一個月最后一天的銷售量增加了a%，同時價格也比上一個月最后一天的價格增加了0.4a%，結果在五月的第一天就獲得了1600元的利潤，求a（結果保留整數）．（參考數據：15²=225，16²=256，17²=289）

Answer 1

解：（1）設P與x之間的函數關系式為y=kx+b，由題意，得
，
解得：，
∴pP=-2x+80；

（2）由題意，得
W₁=（Q₁-20）P
=（0.5x+30-20）（-2x+80），
=-x²+20x+800，
W₂=（Q₂-20）P，
=（x+20-20）（-2x+80），
=-2x²+80；

（3）當x=30時，P=20，Q₂=50，
則20（1+ a%）〔50（1+0.4 a%）-15〕=1600，
設a%=m，則
20（1+m）（50+20m-15）=1600，
即4m²+11m-9=0，
m=，
∵16²=256
∴m=-27/8（舍去）或m=5/8=0.625，
即整數a的值為63．
分析：（1）設P與x之間的函數關系式為y=kx+b，將9（1，78），（2，76）代入關系式就可以求出結論；
（2）由日銷售利潤=每天的銷售量×每公斤的利潤就可以分別表示出W₁與W₂與x的關系；
（3）先分別求出5月份第一的進價，第一天的銷售量，銷售價格，同樣由日銷售利潤=每天的銷售量×每公斤的利潤建立方程求出其解即可．
點評：本題考查了運用待定系數法求一次函數的解析式的運用，二次函數的解析式的運用，列一元二次方程解實際問題的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵．