Question

如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長BG交DC于點F．
（1）如圖1，點G在矩形ABCD內部，試判斷GF與DF的數量關系，并證明你的結論；
（2）①如圖2，當點G在BC邊上時，即有，則的值為______；
②當點G在矩形ABCD內部時，如果，求的值；
③當點G在矩形ABCD內部時，如果，用t的代數式表示（直接寫出結論）；當點G在矩形ABCD外部時，你得出的結論是否還成立？請直接寫出結論即可．

Answer 1

解：（1）GF=DF，
證明：∵矩形ABCD中，E是AD的中點，
將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，
∴AE=DE，AE=EG，
EF=EF，∠A=∠BGE=∠D=90°，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴FG=DF；

（2）①∵DC=DF，AE=ED=AB，
∴=2，
故答案為：2；
②假設DF=x，則FG=x，BG=2x，
∵由（1）知∠BEF=90°，
∴EG²=BG×GF，
∴EG=x，
AD=2x，
AB=2x，
∴=；
③，當點G在矩形ABCD外部時，得出的結論還成立．
分析：（1）利用圖形的翻折變換性質的出Rt△EGF≌Rt△EDF；
（2）運用（1）中結論得出=2，進而利用射影定理表示出EG以及AD，AB的長求出即可．
點評：此題主要考查了圖形的翻折變換以及三角形全等的證明等幾何基本知識，解題時應分別對每一個圖形進行仔細分析，難度不大．