Question

如圖，菱形OABC邊長為5，面積為20，且OC邊在y軸上，AB邊與x軸交于點D，雙曲線y=

m

x

(m≠0)經過的A，直線BC與x軸交于點E．
（1）求雙曲線和直線BC的解析式；
（2）若在雙曲線上有一點F，使S_△ODF=S_△OBE，求點F的坐標．

Answer 1

分析：（1）由菱形的邊長相等得到AB的長，根據菱形的面積公式求出AB邊上高OD的長，在直角三角形AOD中，利用勾股定理求出AD的長，確定出A的坐標，將A的坐標代入反比例函數解析式中求出m的值，即可確定出反比例函數解析式，由OC的長求出C的坐標，由AB-AD求出BD的長，確定出B的坐標，設直線BC的解析式為y=kx+b，將B與C坐標代入求出k與b的值，即可確定出直線BC的解析式；
（2）連接OB，對于直線BC，令y=0求出x的值，確定出OE的長，根據B縱坐標的絕對值，利用三角形的面積公式求出三角形OBE的面積，即為三角形ODF的面積，由OD的長求出F的縱坐標，代入反比例解析式中求出F的橫坐標，即可確定出F的坐標．

解答：解：（1）∵菱形OABC邊長為5，面積為20，
∴AB=OA=OC=5，AB•OD=20，即5OD=20，解得：OD=4，
在Rt△AOD中，OA=5，OD=4，
根據勾股定理得：AD=

OA2-OD2

=3，
∴A（-4，3），
將x=-4，y=3代入反比例解析式得：3=

m

-4

，即m=-12，
則反比例解析式為y=-

12

x

；
∵BD=AB-AD=5-3=2，OD=4，
∴B（-4，-2），又C（0，-4），
代入直線BC解析式y=kx+b中得：

-4k+b=-2 b=-4

，
解得：

k=- 1 2 b=-4

，
則直線BC解析式為y=-

1

2

x-4；
（2）連接OB，如圖所示，
對于直線BC：y=-

1

2

x-4，令y=0求出x=-8，
∴E（-8，0），即OE=8，
∵BD=2，
∴S_△ODF=S_△OBE=

1

2

OE•BD=

1

2

×8×2=8，
∴S_△ODF=

1

2

•OD•|y_F縱坐標|=8，即

1

2

×4×|y_F縱坐標|=8，
∴|y_F縱坐標|=4，即y_F縱坐標=±4，
將y=4代入反比例解析式得：x=-3，將y=-4代入反比例解析式得：x=3，
則滿足題意F坐標為（-3，4）或（3，-4）．

點評：此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：菱形的性質，坐標與圖形性質，待定系數法求函數解析式，以及勾股定理，是一道中檔題．