Question

如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE=BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE．
（1）求證：△ABE≌△DFA；
（2）如果AD=10，AB=6，求sin∠EDF的值．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的對邊平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB．再結合一對直角相等即可證明三角形全等；
（2）根據全等三角形的對應邊相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的長；再根據勾股定理求得DE的長，運用三角函數定義求解．

解答：（1）證明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB．
∵DF⊥AE，AE=BC，
∴∠AFD=90°，AE=AD．
∴△ABE≌△DFA．

（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．
∴AB=DF=6．
在直角△ADF中，AF=

AD2-DF2

=

102-62

=8，
∴EF=AE-AF=AD-AF=2．
在直角△DFE中，DE=

DF2+EF2

=

62+22

=2

10

，
∴sin∠EDF=

EF

DE

=

2

2 10

=

10

10

．

點評：熟練運用矩形的性質和判定，能夠找到證明全等三角形的有關條件；
運用全等三角形的性質和勾股定理求得三角形中的邊，再根據銳角三角函數的概念求解．