Question

如圖，二次函數的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，已知點（－1，0），點C(0，－2)．
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）試探究的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；
（3）此拋物線上是否存在點P,使得以P、A、C、B為頂點的四邊形為梯形.若存在，請寫出所有符合條件的P點坐標；若不存在，請說明理由；
（4）若點是線段下方的拋物線上的一個動點，求面積的最大值以及此時點的坐標．

Answer 1

(1) (2) 外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為（，0）．(3) P₁(3,-2)、P₂(5,3)、P₃(-5,18) (4) 點M（2，﹣3），△MBC面積最大值是4.

解析試題分析：（1）把點 （－1，0），點C(0，－2)代入解析式，即可求出a、c的值，從而二次函數的解析式可求；
（2）首先根據拋物線的解析式確定A點坐標，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標．
（3）根據梯形的定義即可求出點P的坐標；
（4）△MBC的面積可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC的距離最大，若設一條平行于BC的直線，那么當該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M．
（1）將A（－1，0）、點C(0，－2)．代入
求得： 
（2）∵A（-1，0）、C（0，-2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；
外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為（，0）．
（3）共三個P₁(3,-2)、P₂(5,3)、P₃(-5,18) 
（4）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直線BC的解析式為：y=x-2；
設直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，
當直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程：
x+b=x²-x-2，即：x²-2x-2-b=0，且△=0；
∴4-4×（-2-b）=0，即b=-4；
∴直線l：y=x-4．
所以點M即直線l和拋物線的唯一交點，有：
，
解得：
即 M（2，-3）．
過M點作MN⊥x軸于N，
S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB-S△OCB=×2×（2+3）+×2×3-×2×4=4．
∴點M（2，﹣3），△MBC面積最大值是4.
考點：二次函數綜合題．