Question

如圖， 已知等邊三角形ABC中，點D，E，F分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC上一動點，△DMN為等邊三角形（點M的位置改變時， △DMN也隨之整體移動） ．

（1）如圖①，當點M在點B左側時，請你判斷EN與MF有怎樣的數量關系？點F是否在直線NE上？都請直接寫出結論，不必證明或說明理由；
（2）如圖②，當點M在BC上時，其它條件不變，（1）的結論中EN與MF的數量關系是否仍然成立?若成立，請利用圖②證明；若不成立，請說明理由；
（3）若點M在點C右側時，請你在圖③中畫出相應的圖形，并判斷（1）的結論中EN與MF的數量關系是否仍然成立?若成立?請直接寫出結論，不必證明或說明理由．

Answer 1

（1）EN與MF相等 （或EN=MF），點F在直線NE上
（2）成立
（3）略

解析（1）判斷：EN與MF相等 （或EN=MF），點F在直線NE上，   3分
（說明：答對一個給2分）
（2）成立． 4分
證明：
法一：連結DE，DF．     5分
∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三邊的中點，
∴DE，DF，EF為三角形的中位線．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE．     7分
在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，
∴△DMF≌△DNE．    8分
∴MF=NE．      　  9分
法二：
延長EN，則EN過點F．      5分
∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三邊的中點， ∴EF=DF=BF．  
∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN． 7分
又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°，
∴△DBM≌△DFN．    8分
∴BM=FN．
∵BF=EF， ∴MF=EN．    9分
法三：
連結DF，NF．    5分
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC=AC．
又∵D，E，F是三邊的中點，
∴DF為三角形的中位線，∴DF=AC=AB=DB．
又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN．    7分
在△DBM和△DFN中，DF=DB，
DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．
∴∠B=∠DFN=60°．  8分
又∵△DEF是△ABC各邊中點所構成的三角形，
∴∠DFE=60°．
∴可得點N在EF上，
∴MF=EN．          9分
（3）畫出圖形（連出線段NE），    11分

MF與EN相等的結論仍然成立（或MF=NE成立）． 12分