Question

如圖，直線y=-x+20與x軸、y軸分別交于A、B兩點，動點P從A點開始在線段AO上以每秒3個長度單位的速度向原點O運動. 動直線EF從x軸開始以每秒1個長度單位的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于E、F點. 連結(jié)FP，設(shè)動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒．

(1) 當t＝1秒時，求梯形OPFE的面積；
(2) t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？
(3) 設(shè)t的值分別取t₁、t₂時(t₁≠t₂)，所對應(yīng)的三角形分別為△AF₁P₁和△AF₂P₂．試判斷這兩個三角形是否相似，請證明你的判斷.

Answer 1

（1）18；（2）t=5時，最大面積是50；（3）相似

解析試題分析：（1）先根據(jù)直線的性質(zhì)求出A、B兩點的坐標，再根據(jù)點A的移動規(guī)律，得到AP的長，從而求出OP的長；又因為EF=BE，用OB的長減去OE的長即可求出EF的長；從而利用梯形面積公式求出梯形OPFE面積；
（2）設(shè)OE=t，AP=3t，利用梯形面積公式，將梯形面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)表達式，求二次函數(shù)的最大值即可；
（3）作FD⊥x軸于D，則四邊形OEFD為矩形．求出三角形各邊的長度表達式，計算出對應(yīng)邊的比值，加上一個夾角相等，即可證得結(jié)論．
設(shè)梯形OPFE的面積為S．
（1）對于直線y=-x+20，當x=0時，y=20；當y=0時，x=20，
∴A(20，0)，B(0，20)
∴OA=OB=20，∠A=∠B=45°
當t=1時，OE=1，AP=3，
∴OP=17，EF=BE=19
∴S=(OP+EF)·OE=18；
(2)OE=t，AP=3t，
∴OP=20-3t，EF=BE=20-t
∴S=(OP+EF)·OE=(20-3t +20-t)·t =-2t²+20t=-2(t-5)²+50.
∴當t=5(在0<t<范圍內(nèi))時，S_最大值=50；
(3) 作FD⊥x軸于D，則四邊形OEFD為矩形

∴FD=OE=t，AF=FD=t. 
又AP=3t.
當t=t₁時，AF₁=t₁，AP₁=3t₁；
當t=t₂時，AF₂=t₂，AP₂=3t₂；
∴，
又∠A=∠A，
∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂.
考點：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)
點評：解答本題的關(guān)鍵是熟記求二次函數(shù)的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法．