Question

（2013•瀘州）如圖，已知函數(shù)y=

4

3

x與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點A．將y=

4

3

x的圖象向下平移6個單位后與雙曲線y=

k

x

交于點B，與x軸交于點C．
（1）求點C的坐標；
（2）若

OA

CB

=2，求反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象的平移問題由y=

4

3

x的圖象向下平移6個單位得到直線BC的解析式為y=

4

3

x-6，然后把y=0代入即可確定C點坐標；
（2）作AE⊥x軸于E點，BF⊥x軸于F點，易證得Rt△OAE∽△RtCBF，則

OA

BC

=

AE

BF

=

OE

CF

=2，若設(shè)A點坐標為（a，

4

3

a），則CF=

1

2

a，BF=

2

3

a，得到B點坐標為（

9

2

+

1

2

a，

2

3

a），然后根據(jù)反比例函數(shù)上點的坐標特征得a•

4

3

a=（

9

2

+

1

2

a）•

2

3

a，解得a=3，于是可確定點A的坐標為（3，4），再利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）∵y=

4

3

x的圖象向下平移6個單位后與雙曲線y=

k

x

交于點B，與x軸交于點C，
∴直線BC的解析式為y=

4

3

x-6，
把y=0代入得

4

3

x-6=0，解得x=

9

2

，
∴C點坐標為（

9

2

，0）；

（2）作AE⊥x軸于E點，BF⊥x軸于F點，如圖，
∵OA∥BC，
∴∠AOC=∠BCF，
∴Rt△OAE∽△RtCBF，
∴

OA

BC

=

AE

BF

=

OE

CF

=2，
設(shè)A點坐標為（a，

4

3

a），則OE=a，AE=

4

3

a，
∴CF=

1

2

a，BF=

2

3

a，
∴OF=OC+CF=

9

2

+

1

2

a，
∴B點坐標為（

9

2

+

1

2

a，

2

3

a），
∵點A與點B都在y=

k

x

的圖象上，
∴a•

4

3

a=（

9

2

+

1

2

a）•

2

3

a，解得a=3，
∴點A的坐標為（3，4），
把A（3，4）代入y=

k

x

得k=3×4=12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

12

x

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象的平移問題．