Question

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（5，0）關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，∠OAB=∠OBA，并且點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D．
①試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；
②現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿路線BA-AD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿AC方向以每秒0.4個(gè)單位長(zhǎng)的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．已知AB=6，設(shè)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q在以PA為直徑的圓上時(shí)，試求t的值？

Answer 1

分析：（1）平面內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；
（2）①首先能夠根據(jù)題意正確畫出圖形，然后發(fā)現(xiàn)可利用對(duì)角線的性質(zhì)來判斷所給四邊形的形狀；
②動(dòng)點(diǎn)Q在以PA為直徑的圓上時(shí)，∠PQA=90°，注意分情況進(jìn)行分析．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得C（-5，0）；

（2）①四邊形ABCD為矩形，理由如下：
如圖，由已知可得：A、O、C在同一直線上，且OA=OC；
B、O、D在同一直線上，且OB=OD．
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB，即AC=2OA=2OB=BD．
∴四邊形ABCD是矩形．

②如圖，由①得四邊形ABCD是矩形．
∴∠CBA=∠ADC=90°．
又AB=CD=6，AC=10，
∴由勾股定理，得
BC=AD=

AC2-AB2

=

102-62

=8．
∵

10

0.4

=25，

6+8

1

=14，∴0≤t≤14．
當(dāng)0≤t≤6時(shí)，P點(diǎn)在AB上，連接PQ．
∵AP是直徑，∴∠PQA=90°．
又∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB
∴

PA

CA

=

AQ

AB

，即

6-t

10

=

0.4t

6

，解得t=3.6．
當(dāng)6＜t≤14時(shí)，P點(diǎn)在AD上，連接PQ，
同理得∠PQA=90°，△PAQ∽△CAD
∴

PA

CA

=

AQ

AD

，即

t-6

10

=

0.4t

8

，解得t=12．
綜上所述，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q在以PA為直徑的圓上時(shí)，t的值為3.6或12．

點(diǎn)評(píng)：本題用到的知識(shí)點(diǎn)為：①兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它們的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；
②對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形；
③直徑所對(duì)的圓周角是90°．