Question

在一場籃球比賽中，一球星將球出手時，球離地面米，球的運行軌跡為拋物線，當球運行的水平距離為4米時，球到達的最高點離地4米．
（1）建立適當的平面直角坐標系，使得球出手時的坐標是（0，），球運行的最高點坐標為（4，4），求出此坐標系中球的運行軌跡拋物線對應的函數關系式（不要求寫取值范圍）；
（2）若球投入了離地面3米高的籃筐，請求籃筐離球星（坐標原點）的水平距離；
（3）如圖，在籃球場地面以籃筐正下方點O為圓心一些同心的半圓弧，半圓弧上有一些投籃點，相鄰的半圓之間寬度1 米，最內半圓弧的半徑為r 米，其上每0.2π米的弧長上都是該球星投籃命中率較高的點（含半圓弧的兩端點），其它半圓上的命中率較高的點個數與最內半圓弧上的個數相同，若該球星在（1）中投球站立的位置恰好在最外面的一個半圓弧上，求當r為多少時，投籃的同心半圓弧中投籃命中率較高的點的個數最多？

Answer 1

解：（1）∵最高點坐標為（4，4），
∴設拋物線頂點式解析式為y=a（x-4）²+4，
∵球的出手點坐標為（0，），
∴16a+4=，
解得a=-，
所以，函數關系式為y=-（x-4）²+4；

（2）當y=3時，-（x-4）²+4=3，
整理得，（x-4）²=9，
解得x₁=1，x₂=7，
∵球到達過最高點（4，4），
∴籃筐的坐標為（7，3），
∴籃筐距離球星的水平距離為7米；

（3）∵每0.2π米的弧長上都是該球星投籃命中率較高的點（含半圓弧的兩端點），
∴最內半圓弧上的命中率較高的點的個數為：+1=5r+1，
共有弧線條數為：7-r+1=8-r，
所以，投籃命中率較高的點的個數=（5r+1）（8-r）=-5r²+39r+8，
∵-=-=3.9，
∴半徑r=4米時，投籃命中率較高的點的個數最多，
最大多的點數為：-5×4²+39×4+8=84．
分析：（1）設拋物線頂點式解析式為y=a（x-4）²+4，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答即可；
（2）令y=3，解關于x的一元二次方程，求出縱坐標是3的點的坐標，即可得到球星距離坐標原點的水平距離為7米；
（3）根據弧長公式求出最內半圓弧上的命中率較高的點的個數，再表示出到該球星所站的位置所在的最外面的弧線的條數，然后列式整理，再根據二次函數的最值問題解答即可．
點評：本題考查了二次函數的應用，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，已知函數值求自變量的值的方法，二次函數的最值問題，（3）確定出最內半圓弧上點的個數與弧線的條數是解題的關鍵，也是本題容易出錯之處．