Question

如圖所示，已知m、n是方程的兩個實數根，且m<n，拋物線的圖像經過點A(m，0)、B(0，n)．
 
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設（1）中拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C、D的坐標和△BCD的面積；
（注：拋物線的頂點坐標為
（3）P是線段OC上的一點，過點P作PH⊥x軸，與拋物線交于H點，若直線BC把△PCH分成面積之比
為2：3的兩部分，請求出P點的坐標．

Answer 1

（1）；（2）C（－5，0），D（－2，9），15；（3）或

解析試題分析：（1）先解方程得，即可得到點A、B的坐標，再將A、B的坐標分別代入，即可得到結果；
（2）由，令y＝0，即可求得C點的坐標，再由頂點坐標公式計算得點D的坐標，過D作x軸的垂線交x軸于M，則，，，
所以；
（3）設P點的坐標為（a，0），由線段BC過B、C兩點即可求得BC所在的直線方程，從而得到PH與直線BC的交點坐標，表示出PH與拋物線的交點坐標，再分①，②兩種情況即可求得結果.
（1）解方程，得 
由m<n，有m＝1，n＝5 所以點A、B的坐標分別為A（1，0），B（0，5）．
將A（1，0），B（0，5）的坐標分別代入．
得解這個方程組，得
所以拋物線的解析式為；
（2）由，令y＝0，得  
解這個方程，得
所以C點的坐標為（－5，0）．
由頂點坐標公式計算，得點D（－2，9）．
過D作x軸的垂線交x軸于M
    
則
， 
所以，. 
（3）設P點的坐標為（a，0）
因為線段BC過B、C兩點，所以BC所在的直線方程為y＝x+5．
那么，PH與直線BC的交點坐標為E(a，a+5)， 
PH與拋物線的交點坐標為 
由題意得①，即
解這個方程，得或（舍去）
②，即
解這個方程，得或（舍去），
∴P點的坐標為或.
考點：二次函數的綜合題
點評：本題知識點多，綜合性強，難度較大，一般是中考壓軸題，主要考查學生對二次函數的性質的熟練掌握情況.