Question

（2003•貴陽）如圖，已知AB為⊙O的直徑，AC為弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求證：AC⊥OD；
（2）求OD的長；
（3）若2sinA-1=0，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直徑所對的圓周角是直角，再根據平行線的性質即可證明；
（2）根據垂徑定理得到AD=CD，再根據三角形的中位線定理進行求解；
（3）由已知可以求得∠A=30°，在直角三角形ABC中，根據30度所對的直角邊是斜邊的一半進行求解．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C=90°．（2分）
∵OD∥BC，
∴∠ADO=∠C=90°．（3分）
∴AC⊥OD．（4分）

（2）解：∵OD∥BC，O是AB的中點，
∴OD是△ABC的中位線，
∴點D是AC的中點，（1分）
∴OD=BC=×4=2cm；（4分）

（3）解：∵2sinA-1=0，
∴sinA=．（1分）
∴∠A=30°．（2分）
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴BC=AB．（3分）
∴AB=2BC=8（cm）．
即⊙O的直徑是8cm．（4分）
點評：此題綜合考查了圓周角定理的推論、平行線等分線段定理、三角形的中位線定理、特殊角的銳角三角函數值．