Question

（2013•寶山區一模）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，將一個直角三角板的直角頂點P放在射線OM上，OP=m（m為常數且m≠0），移動直角三角板，兩邊分別交射線OA，OB與點C，D
（1）如圖，當點C、D都不與點O重合時，求證：PC=PD；
（2）聯結CD，交OM于E，設CD=x，PE=y，求y與x之間的函數關系式；
（3）如圖，若三角板的一條直角邊與射線OB交于點D，另一直角邊與直線OA，直線OB分別交于點C，F，且△PDF與△OCD相似，求OD的長．

Answer 1

分析：（1）作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，根據角平分線的性質可得PM=PG，根據ASA可證△PCM≌△PDN，根據全等三角形的性質可得PC=PD；
（2）根據AA可證△PDE∽△POD，根據相似三角形的性質，等腰直角三角形的性質即可得到y與x之間的函數關系式；
（3）分①點C在AO上，根據相似三角形的性質和線段垂直平分線的性質即可求得OD的長；②點C在AO的延長線上，△PDF與△OCD相似只能是∠1=∠2，根據等腰直角三角形的性質可得∠BDC=45°，然后求出∠1=22.5°，過點P作PG⊥OM交OD于G，根據等腰直角三角形的性質求出OG，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠3=22.5°，從而得到∠1=∠3，根據等角對等邊的性質可得PG=DG=m，然后根據OD=OG+DG計算即可得解．

解答：（1）證明：作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，
則∠PHC=∠PND=90°，
則∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90°
∴∠HPC=∠NPD，
∵OM是∠AOB的平分線
∴PH=PN，∠POB=45°，
∵在△PCH與△PDN中，

∠PHC=∠PND PH=PN ∠HPC=∠NPD

，
∴△PCH≌△PDN（ASA）
∴PC=PD；

（2）解：∵PC=PD，
∴∠PDC=45°，
∴∠POB=∠PDC，
∵∠DPE=∠OPD，
∴△PDE∽△POD，
∴PE：PD=PD：PO，
又∵PD²=

1

2

CD²，
∴PE=

1

2m

x²，即y與x之間的函數關系式為y=

1

2m

x²；

（3）①如圖1，點C在AO上時，∵∠PDF＞∠CDO，
令△PDF∽△OCD，
∴∠DFP=∠CDO，
∴CF=CD，
∵CO⊥DF
∴OF=OD
∴OD=

1

2

DF=OP=m；
②如圖2，點C在AO的延長線上時，
△PDF與△OCD相似，若∠2=∠PFD，則PC∥CD，與PC、DC相交于點C矛盾，
所以，只能是∠1=∠2，
由（1）可知PC=PD，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠1=22.5°，
過點P作PG⊥OM交OD于G，
∵∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，
∴△POG是等腰直角三角形，
∴OG=

2

OP=

2

m，
PG=OP=m，
∵∠1+∠3=∠PGO=45°，
∴∠3=22.5°，
∴∠1=∠3，
∴PG=DG=m，
∴OD=OG+DG=

2

m+m=（

2

+1）m，
綜上所述，OD的長為：m或（

2

+1）m．

點評：本題主要考查了直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定和性質等知識點，根據三角形相似或全等得出線段之間以及角之間的關系是解題的關鍵，（3）要分情況討論，容易漏解而導致出錯．