Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于點A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），頂點M的縱坐標為-3，若x₁，x₂是關于方程x²+（m+1）x+m²-12=0（其中m＜0）的兩個根，且x₁²+x₂²=10．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求拋物線的解析式及點C的坐標；
（3）在拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積等于四邊形ACBM的面積的2倍？若存在，求出所有符合條件點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據韋達定理可得出A、B兩點橫坐標的和與積，聯立x₁²+x₂²=10，可求出m的值，進而可求出A、B的坐標．
（2）根據A、B的坐標，可得出拋物線的對稱軸的解析式，即可求出其頂點M的坐標，根據得出的A、B、M三點的坐標，即可用待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）可先求出四邊形ACMB的面積（由于四邊形ACMB不規則，因此其面積可用分割法進行求解）．然后根據ACMB的面求出P點的縱坐標的絕對值，將其代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標．

解答：解：（1）∵若x₁，x₂是方程x²+（m+1）x+m²-12=0的兩個實數根，
由題意得：x₁+x₂=-

b

a

=-（m+1），x₁x₂=

c

a

=m²-12，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（m+1）²-2（m²-12）=10，
化簡，得-m²+2m+15=0，
解得m=5或-3，
∵m＜0，
∴m=-3，．
∴原方程可寫成：x²-2x-3=0，
∵x₁＜x₂，
∴x₁=-1，x₂=3；
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）已知：A（-1，0），B（3，0），
∴拋物線的對稱軸為x=1，
因此拋物線的頂點坐標為（1，-3），
設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
則有：-3=a（1+1）（1-3），
解得：a=

3

4

；
∴y=

3

4

（x-3）（x+1）=

3

4

x²-

3

2

x-

9

4

；

（3）S_{四邊形ACMB}=S_△AOC+S_梯形OCMN+S_△NBM
=

1

2

OA•OC+

1

2

（OC+MN）•ON+

1

2

NB•MN
=

1

2

×1×

9

4

+

1

2

×（

9

4

+3）×1+

1

2

×2×3
=

27

4

．
假設存在P（x₀，y₀）使得S_△PAB=2S_{四邊形ACMB}=

27

2

，
即：

1

2

AB|y₀|=

27

2

，

1

2

×4×|y₀|=

27

2

，
∴y₀=±

27

4

；
當y₀=

27

4

時，

3

4

x²-

3

2

x-

9

4

=

27

4

，解得x₁=1-

13

，x₂=1+

13

；
當y₀=-

27

4

時，

3

4

x²-

3

2

x-

9

4

=-

27

4

，此方程無實數根．
∴存在符合條件的P點，且坐標為（1-

13

，

27

4

），（1+

13

，

27

4

）．

點評：本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，二次函數解析式的確定、圖形的面積求法等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．