Question

如圖（1），小強將一張直角三角形紙片ABC沿斜邊上的中線CD剪開成△AC₁D₁和△BC₂D₂．
（1）將圖（1）中的△AC₁D₁（△ACD）紙片沿CD翻折，點A落在點A₁處，CA₁恰好與AB垂直（如圖（2）），求tanA的值；
（2）將圖（1）中的△AC₁D₁紙片沿直線D₂B（AB）方向平移（點A、D₂、D₁、B在同一直線上），C₁D₁與BC₂交于點E，AC₁與C₂D₂交于點F（如圖（3）），求證：D₁E=D₂F．

Answer 1

解：（1）如圖（1）和（2），
∵CD是Rt△ABC斜邊上的中線，
∴CD=AD，
∴∠A=∠ACD，
∵△A₁CD由△ACD翻折而成，
∴∠ACD=∠A₁CD，
又∵CA₁⊥AB，
∴∠A+∠ACD+∠DCA₁=3∠A=90°，
∴∠A=30°，
tanA=；

（2）由圖（1）和（3）知，C₁D₁=C₂D₂=CD=AD=AD₁=BD₂，
∴∠FAD₂=∠C₁，∠B=∠C₂，AD₂=AD₁-D₁D₂=BD₂-D₁D₂=BD₁，
由平移性質得C₁D₁∥C₂D₂，
∴∠AFD₂=∠C₁∠BED₁=∠C₂，
∴D₂F=AD₂，BD₁=D₁E，
∴D₁E=D₂F．
分析：（1）根據CD是Rt△ABC斜邊上的中線由直角三角形斜邊上中線的性質可得到∠A=∠ACD，再根據△A₁CD由△ACD翻折而成可得到∠ACD=∠A₁CD，進而可得出∠A的度數，再根據特殊角的三角函數值即可求解；
（2）由圖（1）和（3）知，C₁D₁=C₂D₂=CD=AD=AD₁=BD₂，再根據圖形平移的性質可得到C₁D₁∥C₂D₂，由平行線的性質即可得到∠AFD₂=∠C₁∠BED₁=∠C₂，進而可得出結論．
點評：本題考查的是翻折變換的性質、直角三角形斜邊上的中線、平移的性質及特殊角的三角函數值，熟知以上知識點是解答此題的關鍵．