Question

如圖，已知直線y=-x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P為x軸上可以移動的點，且點P在點A的左側，PM⊥x軸，交直線y=-x+6于點M，有一個動圓O′，它與x軸、直線PM和直線y=-x+6都相切，且在x軸的上方．當⊙O'與y軸也相切時，點P的坐標是

 

．

Answer 1

分析：此題應分為三種情況：
①當⊙O′在y軸的右側時，MP在圓的左側，此時點P和點O重合，坐標是（0，0）；
②當⊙O′在y軸的右側時，MP在圓的右側，此時可以求得圓的半徑是

6+6-6 2

2

=6-3

2

，則點P的坐標是（12-6

2

，0）；
③當圓在y軸左側時，設圓的半徑是x，則根據等腰直角三角形的性質和切線長定理得：
12+6

2

=

2

（6+2x），x=3

2

，則P點的坐標是（-6

2

，0）．

解答：解：①如圖，當⊙O′在y軸的右側時，MP在圓的左側，
此時點P和點O重合，坐標是（0，0）；
②當⊙O′在y軸的右側時，MP在圓的右側，
∵直線y=-x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴A（6，0），B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴△AOB是等腰直角三角形，連接OC，OD，
則四邊形O'COD是正方形，
∴圓的半徑是

6+6-6 2

2

=6-3

2

，
則點P的坐標是（12-6

2

，0）；
③當圓在y軸左側時，
設圓的半徑是x，如圖，則AP=PM=6+2x，連接O'E，O'F，
則四邊形O'EPF是正方形，
∴ME=MS=6+x，BH=BS=6-x
則根據切線長定理得AM=MS+AS=MS+AF=12+6

2

，
∴12+6

2

=

2

（6+2x），
∴x=3

2

，
則P點的坐標是（-6

2

，0）．
故填空答案：（0，0），（-6

2

，0），（12-6

2

，0）．

點評：此題注意考慮三種情況，計算的時候，綜合運用切線長定理、等腰直角三角形的性質以及直線與坐標軸的交點的求法．