Question

（2012•隨州）在一次數學活動課上，老師出了一道題：
（1）解方程x²-2x-3=0
巡視后，老師發現同學們解此道題的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．接著，老師請大家用自己熟悉的方法解第二道題：
（2）解關于x的方程mx²+（m-3）x-3=0（m為常數，且m≠0）．
老師繼續巡視，及時觀察、點撥大家，再接著，老師將第二道題變式為第三道題：
（3）已知關于x的函數y=mx²+（m-3）x-3（m為常數）
①求證：不論m為何值，此函數的圖象恒過x軸、y軸上的兩個定點（設x軸上的定點為A，y軸上的定點為C）；
②若m≠0時，設此函數的圖象與x軸的另一個交點為B．當△ABC為銳角三角形時，觀察圖象，直接寫出m的取值范圍．
請你也用自己熟悉的方法解上述三道題．

Answer 1

分析：（1）直接根據因式分解法解得x²-2x-3=0的根；
（2）觀察方程mx²+（m-3）x-3=0可把原方程分解成（x+1）•（mx-3）=0，解出方程的兩根即可；也可以運用公式法進行解答；
（3）①首先進行分類討論，當m=0時，函數是一次函數，可以求出函數恒過x軸、y軸上的兩個定點，當m≠0時，該函數是二次函數，函數的圖象是拋物線，結合（2）問知識，可以得到恒過x軸、y軸上的兩個定點；②當m＞0時，由①可知拋物線開口向上，且過點A（-1，0），C（0，-3）和B（

3

m

，0），觀察圖象并結合題干條件，當△ABC為Rt△時，可知△AOC∽△COB，進而求出OB的長度，若△ABC為銳角三角形時，則0＜

3

m

＜9，解出m的取值范圍即可．

解答：解：（1）由x²-2x-3=0，得（x+1）（x-3）=0，
∴x₁=-1，x₂=3；               …（3分）

（2）方法一：由mx²+（m-3）x-3=0，得（x+1）•（mx-3）=0，
∵m≠0，∴x₁=-1，x₂=

3

m

…（3分）
方法2：由公式法：x₁，x₂=

3-m± (m-3)2+12m

2m

=

3-m±|m+3|

2m

，
∴x₁=-1，x₂=

3

m

；

（3）①1°當m=0時，函數y=mx²+（m-3）x-3為y=-3x-3，
令y=0，得x=-1；令x=0，則y=-3．
∴直線y=-3x-3過定點A（-1，0），C（0，-3）…（2分）
2°當m≠0時，函數y=mx²+（m-3）x-3為y=（x+1）•（mx-3），
∴拋物線y=（x+1）•（mx-3）恒過兩定點A（-1，0），C（0，-3）；
故不論m為何值，此函數的圖象恒過x軸、y軸上的兩個定點；

②（I）當m＞0時，由①可知拋物線開口向上，且過點A（-1，0），C（0，-3）和B（

3

m

，0），
觀察圖象，可知，當△ABC為直角三角形時，
則△AOC∽△COB，
∴

AO

CO

=

CO

BO

，
∴|OC|²=|OA|•|OB|，
∴3²=1×|OB|，
∴OB=9，即B（9，0），
∴當0＜

3

m

＜9．即：m＞

1

3

，
當m＞

1

3

時，△ABC為銳角三角形； 
（II）觀察圖象可知
當m＜0且m≠-3時，點B在x軸的負半軸上，B與A不重合．
∴△ABC中的∠BAC＞90°，
∴△ABC是鈍角三角形．
∴當m＜0且m≠-3時，△ABC為鈍角三角形，
綜上當m＞

1

3

時，△ABC為銳角三角形．

點評：本題主要考查二次函數綜合題的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握二次函數圖象得性質，特別是解答第（3）問時，首先解出三角形ABC是直角三角形時m的值，進而求出△ABC是銳角三角形時m的取值范圍，此題難度較大．