Question

拓展視野：
（1）如圖，AB=4，點P是線段AB上一動點，CA⊥AB，DB⊥AB，AC=1，
BD=2，設AP=x，用含x的代數式表示：PC=

1+x2

，PD=

(4-x)2+4

，由圖可知：PC+PD的最小值是

5

．
（2）請用（1）圖重新構圖，求：

4+x2

+

(12-x)2+9

最小值．

Answer 1

分析：（1）由于△APC和△BPD都是直角三角形，所以根據勾股定理可得出PC，PD的長；若點P不在CD的連線上，根據三角形中任意兩邊之和大于第三邊知，PC+PD＞CD，故當C、P、D三點共線時，PC+PD的值最小，利用勾股定理求出即可；
（2）由（1）的結果可作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，則AE的長即為代數式

4+x2

+

(12-x)2+9

的最小值，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形和直角三角形的性質可求得AE的值．

解答：解：（1）∵AP=x，AB=4，
∴PB=4-x．
在Rt△APC中，∵∠A=90°，AC=1，AP=x，
∴PC=

AC2+AP2

=

1+x2

；
在Rt△BPD中，∵∠B=90°，BD=2，PB=4-x，
∴PD=

PB2+BD2

=

(4-x)2+4

；
當C、P、D在同一直線上時，PC+PD的值最小；
如圖，當C、P、D在同一直線上時，延長CA，作DE⊥AC于點E，
∵AC=1，BD=2，
∴CE=3，
∵∠CAB=90°，
∴∠BAE=90°，
∵∠B=∠E=90°，
∴四邊形ABDE是矩形，
∴DE=AB=4，
∴CD=

CE2+DE2

=

32+42

=5；

（2）如右圖所示，作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，設BC=x，則AE的長即為代數式

4+x2

+

(12-x)2+9

的最小值．
過點A作AF∥BD交ED的延長線于點F，得矩形ABDF，
則AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE=

AF2+EF2

=

122+52

=13，
即

4+x2

+

(12-x)2+9

的最小值為13．
故答案為

1+x2

，

(4-x)2+4

，5．

點評：本題主要考查了最短路線問題以及勾股定理的應用，利用了數形結合的思想，通過構造直角三角形，利用勾股定理求解是解題關鍵．