Question

如圖，已知拋物線的方程為（m＞0），與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側．
（1）若拋物線過點M（2，2），求實數m的值；
（2）在（1）的條件下，求△BCE的面積；
（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BH+EH最小，求出點H的坐標．

Answer 1

解：（1）依題意，將M（2，2）代入拋物線解析式得：
2=-（2+2）（2-m），
解得m=4．

（2）令y=0，即-（x+2）（x-4）=0，解得x₁=-2，x₂=4，
∴B（-2，0），C（4，0）．
則BC=6．
令x=0，得y=2，
∴E（0，2），則OE=2．
∴S_△BCE=BC•OE=6．

（3）當m=4時，易得對稱軸為x=1，
又∵點B、C關于x=1對稱．
如圖，連接EC，交x=1于H點，此時BH+CH最小（最小值為線段CE的長度）．
設直線EC：y=kx+b（k≠0），將E（0，2）、C（4，0）代入得：y=-x+2，
當x=1時，y=，
∴H（1，）．
分析：（1）將點（2，2）的坐標代入拋物線解析式，即可求得m的值；
（2）求出B、C、E點的坐標，進而求得△BCE的面積；
（3）根據軸對稱以及兩點之間線段最短的性質，可知點B、C關于對稱軸x=1對稱，連接EC與對稱軸的交點即為所求的H點，如答圖所示．
點評：本題考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法求一次函數、二次函數解析式以及軸對稱-最小路徑問題等重要知識點，難度較大．注意，在設一次函數解析式y=kx+b時，一定要說明k≠0．