Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）與x軸的兩個交點分別為A（-1，0）、B（3，0），與y軸的交點為點D，頂點為C，
（1）寫出該拋物線的對稱軸方程；
（2）當點C變化，使60°≤∠ACB≤90°時，求出a的取值范圍；
（3）作直線CD交x軸于點E，問：在y軸上是否存在點F，使得△CEF是一個等腰直角三角形？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）與x軸的兩個交點分別為A（-1，0）、B（3，0），即可求出拋物線的對稱軸；
（2）分別求出當∠ACB=60°和∠ACB=90°時a的值，進而求出使60°≤∠ACB≤90°時，求出a的取值范圍；
（3）分別寫出C點和D點的坐標以及E點的坐標，再進行分類討論證明△EHF≌△FKC，列出a的方程，解出a的值．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）與x軸的兩個交點分別為A（-1，0）、B（3，0），
∴拋物線的對稱軸x==1；

（2）當∠ACB=60°時，△ABC是等邊三角形，即點C坐標為（1，-2），
設y=a（x+1）（x-3），把C點坐標（1，-2）代入，
解得a=；
當∠ACB=90°時，△ABC是等腰直角三角形，即點C坐標為（1，-2），
設y=a（x+1）（x-3），把C點坐標（1，-2）代入，
解得a=，
即當點C變化，使60°≤∠ACB≤90°時，≤a≤；

（3）由于C（1，-4a），D（0，-3a），
設直線CD的解析式為y=kx+b，
即，
解得k=-a，b=-3a，
直線CD的解析式為y=-a（x+3），
故求出E點坐標為（-3，0）；
分兩類情況進行討論；
①如圖1，△EHF≌△FKC，
即HF=CK=3，
4a+1=3，
解得a=；
②如圖2，△EHF≌△FKC，
即EK=HF=3；
即4a=3，解得a=；
同理，當點F位于y軸負半軸上，a=
綜上可知在y軸上存在點F，使得△CEF是一個等腰直角三角形，且a=、a=或a=
點評：本題主要考查二次函數的綜合題的知識點，解答本題的關鍵是能夠利用數形結合進行解題，此題的難度較大，特別是第三問需要進行分類討論解決問題．