Question

（2009•宣武區一模）如圖，⊙O的直徑AB=6cm，點P是AB延長線上的動點，過點P作⊙O的切線，切點為C，連接AC．若∠CPA的平分線交AC于點M，你認為∠CMP的大小是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出∠CMP的度數．

Answer 1

【答案】分析：先根據切線的性質得到∠OCP=90°，再利用角平分線和圓周角的性質得到2∠A+2∠APM=90，即∠A+∠APM=45°，利用三角形的外角等于不相鄰的兩個內角和可知∠CMP=∠A+∠APM=45°，所以∠CMP的大小不發生變化．
解答：解：∠CMP的大小不發生變化．（1分）
連接OC，
PC是⊙O的切線，
∴∠OCP=90°．
∵PM是∠CPA的平分線，
∴∠APC=2∠APM．
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COP=∠A+∠ACO=2∠A．
在Rt△OCP中，∠OCP=90°，
∴∠COP+∠OPC=90°，
∴2∠A+2∠APM=90°，
∴∠CMP=∠A+∠APM=45°．（4分）
即∠CMP的大小不發生變化．
點評：主要考查了角平分線的性質和圓中的有關性質．要掌握角平分線的性質和圓周角等于它所對的圓心角的一半．靈活利用外角的性質進行解題．