Question

探索、研究：
儀器箱按如圖方式堆放（自下而上依次為第1層、第2層、…），受堆放條件限制，堆放時應符合下列條件：每層堆放儀器箱的個數a_n與層數n之間滿足關系式a_n=n²-32n+247，1≤n＜16，n為整數．
（1）例如：當n=2時，a₂=2²-32×2+247=187，則a₅=______．
（2）第n層比第（n+1）層多堆放______個儀器箱．（用含n的代數式表示）
（3）如果不考慮儀器箱承受的壓力，根據題中條件判斷儀器箱最多可以堆放______層．
（4）設每個儀器箱重54N（牛頓），每個儀器箱能承受的最大壓力為160N，并且堆放時每個儀器箱承受的壓力是均勻的．
  ①若儀器箱僅堆放第1、2兩層，則第1層中每個儀器箱承受的平均壓力為______N．
  ②在確保儀器箱不被損壞的情況下，儀器箱最多可以堆放______層．

Answer 1

【答案】分析：（1）把n=5代入n²-32n+247進行計算即可；
（2）分別計算a_n+1與a_n，然后計算出它們的差；
（3）a_n=n²-32n+247=（n-16）²-9≥0，即可得到n=12，即儀器箱最多可以堆放的層數；
（4）①第1層中每個儀器箱承受的平均壓力=；
②第2到第五層共有594個儀器箱，則可計算出第1層中每個儀器箱承受的平均壓力為148.5＜160，可判斷最多可以堆放 5層．
解答：解：（1）a₅=5²-32×5+247=112；

（2）a_n+1-a_n=n²-32n+247-[（n+1）²-32（n+1）+247]=31-2n；

（3）a_n=n²-32n+247=（n-16）²-9≥0，
當n=19或n=13，a=0，
∴儀器箱最多可以堆放12層；

（4）①第一層有216塊，
∴第1層中每個儀器箱承受的平均壓力==46.75（N）；
②a₁=216，a₂=187，a₃=160，a₄=135，a₅=112，
∴第1層中每個儀器箱承受的平均壓力=≈148.5＜160，
所以儀器箱最多可以堆放 5層．
故答案為112；（31-2n）；12；46.75；5．
點評：本題考查了二次函數的應用：根據實際問題列出二次函數關系式，然后利用二次函數的性質，特別是二次函數的最值問題解決實際中的最大或最小值問題．