Question

如圖，D是半徑為R的⊙O上一點，過點D作⊙O的切線交直徑AB的延長線于點C，下列四個條件：①AD=CD；②∠A=30°；③∠ADC=120°；④DC=R．其中，使得BC=R的有（ ）

A．①②
B．①③④
C．②③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：此題的四個結論都需要構造直角三角形來求證，連接OD，若BC=R，那么OC=2OD，即∠C=30°，可據此對四個結論進行判斷．
解答：解：連接OD，則OD⊥CD；
①∵AD=DC，
∴∠A=∠C，
∴∠DOC=2∠A=2∠C；
在Rt△ODC中，∠C+∠DOC=90°，
即∠A=∠C=30°，
∴OC=2OD，OB+BC=2OD，由于OB=OD，故BC=OB=R，①正確；
②由①可知：當∠A=30°時，可以得到BC=R，故②正確；
③∠ADC=120°，則∠A=∠C=（180°-∠ADC）=30°，
由①②知，當∠A=30°時，BC=R成立，故③正確；
④DC=R，則tan∠C==，即∠A=∠C=30°，
故④正確；
所以四個結論都能是BC=R成立，
故選D．
點評：此題主要考查的是切線的性質、圓周角定理以及解直角三角形的應用，難度不大．