Question

已知拋物線y=x²-x+k與x軸有兩個交點．
（1）求k的取值范圍；
（2）設拋物線與x軸交于A、B兩點，且點A在點B的左側，點D是拋物線的頂點，如果△ABD是等腰直角三角形，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線與y軸交于點C，點E在y軸的正半軸上，且以A、O、E為頂點的三角形和以B、O、C為頂點的三角形相似，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用根的判別式即可判斷k的取值范圍．
（2）利用兩根之和與兩根之積公式、等腰直角三角形的性質即可求出k的值．
（3）利用極端假設法分別求出x、y的值，再利用相似三角形的性質進行解答．
解答：解：（1）根據題意得：△=1-2k＞0，
∴k＜，
∴k的取值范圍是k＜．

（2）設A（x₁，0）、B（x₂，0），則x₁+x₂=2，x₁x₂=2k．
∴AB=|x₁-x₂|==2，
由y=x²-x+k=（x-1）²+k-得頂點D（1，k-），
當△ABD是等腰直角三角形時得；|k-|=2×，
解得k₁=-，k₂=，
∵k＜，
∴k=舍去，
∴所求拋物線的解析式是y=x²-x-．

（3）設E（0，y），則y＞0，
令y=0得x²-x-=0，
∴x₁=-1，x₂=3，∴A（-1，0）、B（3，0），令x=0得：y=-，
∴C（0，-），
（i）當△AOE∽△BOC時得：，∴，解得y=，
∴E₁（0，）；
（ii）當△AOE∽△COB時得：，∴，解得y=2，
∴E₂（0，2），
∴當△AOE和△BOC相似時，E₁（0，）或E₂（0，2）．
點評：本題結合等腰直角三角形的性質考查二次函數的綜合應用，解題時要注意以A、O、E為頂點的三角形和以B、O、C為頂點的三角形相似的表示方法．