Question

如圖1，在△ABB′和△ACC′中，∠BAB′=∠CAC′=m°，AC=AC′，AB=AB′．

（1）不添加輔助線的前提下，請寫出圖中滿足旋轉(zhuǎn)變換的兩個三角形分別是：

△ACB和△AC′B′

；旋轉(zhuǎn)角度是

m°

°；
（2）線段BC、B′C′的數(shù)量關(guān)系是：

BC=B′C′

；試求出BC、B′C′所在直線的夾角：

m°

；
（3）隨著△ACC′繞點A的旋轉(zhuǎn)，（2）的結(jié)論是否依然成立？請從圖2、圖3中任選一個證明你的結(jié)論；
（4）利用解決上述問題所獲得的經(jīng)驗探索下面的問題：
如圖4，等邊△ABC外一點D，且∠BDC=60°，連接AD，試探索線段AD、CD、BD的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)SAS推出△ACB≌△AC′B′，即可得出答案；
（2）延長B″C″交BC于E，根據(jù)△ACB≌△AC′B′推出∠AB′C′=∠ABC，求出∠ABB′+∠AB′B=180°-m°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BEB′=180°-（∠BB′E+∠ABB′+∠ABC），代入求出即可；
（3）根據(jù)∠CAC′=∠BAB′求出∠CAB=∠C′AB′，證△ACB≌△AC′B′，推出BC=B′C，∠AB′C′=∠ABC，求出∠ABB′+∠AB′B=180°-m°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
（4）在BD上取一點E，使∠BAE=∠DAC，根據(jù)∠BAC=60°=∠BDC求出∠DCA=∠ABE，證△ABE≌△ACD，推出BE=CD，AE=AD，求出∠EAD=∠CAB=60°，得出△AED是等邊三角形，推出AD=DE即可．

解答：（1）解：△ACB和△AC′B′，m°，
理由是：∵∠BAB′=∠CAC′=m°，
∴∠CAB=∠C′AB′=m°，
∵在△ACB和△AC′B′中

AC=AC′ ∠CAB=∠C′AB′ AB=AB′

∴△ACB≌△AC′B′（SAS），
∴△ACB繞A點旋轉(zhuǎn)能和△AC′B′重合，△ACB的邊AC繞A點旋轉(zhuǎn)∠CAC′到AC′，AB繞A點旋轉(zhuǎn)∠BAB′到AB′，即旋轉(zhuǎn)角度是m°，

（2）解：BC=B′C′，BC、B′C′所在直線的夾角是m°，
理由是：
延長B″C″交BC于E，如圖1，
∵△ACB≌△AC′B′，
∴∠AB′C′=∠ABC，
∵∠BAB′=m°，
∴∠ABB′+∠AB′B=∠ABB′+∠AB′C′+∠BB′E=∠BB′E+∠ABB′+∠ABC=180°-m°，
∴∠BEB′=180°-（∠BB′E+∠ABB′+∠ABC）=180°-（180°-m°）=m°，

（3）結(jié)論還成立，
證明：如圖2，
∵∠CAC′=∠BAB′，
∴∠CAC′+∠BAC′=∠BAB′+∠BAC′，
∴∠CAB=∠C′AB′，
在△ACB和△AC′B′中

AC=AC′ ∠CAB=∠C′AB′ AB=AB′

∴△ACB≌△AC′B′（SAS），
∴BC=B′C，∠AB′C′=∠ABC，
∵∠BAB′=m°，
∴∠ABB′+∠AB′B=∠ABB′+∠AB′C′+∠BB′E=∠BB′E+∠ABB′+∠ABC=180°-m°，
∴∠BEB′=180°-（∠BB′E+∠ABB′+∠ABC）=180°-（180°-m°）=m°．
即BC=B′C′，BC、B′C′所在直線的夾角是m°，
即（2）中的結(jié)論還成立．

（4）解：BD=AD+CD，
理由是：在BD上取一點E，使∠BAE=∠DAC，如圖3，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°=∠BDC，
∴∠ABC+∠ACB=∠ABE+∠EBC+∠ACB=120°，∠EBC+∠DCA+∠ACB=120°，
∴∠DCA=∠ABE，
在△ABE和△ACD中

∠BAE=∠CAD AB=AC ∠ABE=∠ACD

∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE=CD，AE=AD，
∵∠BAE=∠CAD，∠BAC=60°，
∴∠EAD=∠EAC+∠CAD=∠EAC+∠ABE=∠CAB=60°，
∵AE=AD，
∴△AED是等邊三角形，
∴AD=DE，
∴BD=BE+DE=CD+AD，
即BD=AD+CD．
故答案為：△ACB和△AC′B′，m°．故答案為：BC=B′C′，m°．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．