Question

如圖①，二次函數的拋物線的頂點坐標C，與x軸的交于A（1，0）、B（-3，0）兩點，與y軸交于點D（0，3）．

（1）求這個拋物線的解析式；
（2）如圖②，過點A的直線與拋物線交于點E，交y軸于點F，其中點E的橫坐標為-2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為直線PQ上的一動點，則x軸上是否存在一點H，使D、G、H、F四點所圍成的四邊形周長最小？若存在，求出這個最小值及點G、H的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖③，連接AC交y軸于M，在x軸上是否存在點P，使以P、C、M為頂點的三角形與△AOM相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用三點式求出二次函數的解析式；
（2）若四邊形DFHG的周長最小，應將邊長進行轉換，利用對稱性，要使四邊形DFHG的周長最小，由于DF是一個定值，只要使DG+GH+HI最小即可．由圖形的對稱性可知，HF=HI，GD=GE，DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有當EI為一條直線時，EG+GH+HI最小，即，DF+EI=
即邊形DFHG的周長最小為．
（3）要使△AOM與△PCM相似，只要使△PCM為直角三角形，且兩直角邊之比為1：2即可，設P（a，0），CM=，且∠CPM不可能為90°時，因此可分兩種情況討論，①當∠CMP=90°時，CM=，若，則，可求的P（-4，0），則CP=5，CP²=CM²+PM²，即P（-4，0）成立，若，由圖可判斷不成立； ②當∠PCM=90°時，CM=，若，則，可求出P（-3，0），則PM=，顯然不成立，若，則，更不可能成立．即求出以P、C、M為頂點的三角形與△AOM相似的P的坐標（-4，0）．
解答：解：（1）設所求拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，將A（1，0）、B（-3，0）、D（0，3）代入，

得
即所求拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3．

（2）如圖④，在y軸的負半軸上取一點I，使得點F與點I關于x軸對稱，
在x軸上取一點H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HF=HI…①
設過A、E兩點的一次函數解析式為：y=kx+b（k≠0），
∵點E在拋物線上且點E的橫坐標為-2，將x=-2，代入拋物線y=-x²-2x+3，得y=-（-2）²-2×（-2）+3=3
∴點E坐標為（-2，3）…（4分）
又∵拋物線y=-x²-2x+3圖象分別與x軸、y軸交于點A（1，0）、B（-3，0）、
D（0，3），所以頂點C（-1，4）
∴拋物線的對稱軸直線PQ為：直線x=-1，
∴點D與點E關于PQ對稱，GD=GE…②
分別將點A（1，0）、點E（-2，3）
代入y=kx+b，得：解得：
過A、E兩點的一次函數解析式為：
y=-x+1
∴當x=0時，y=1
∴點F坐標為（0，1）…（5分）
∴|DF|=2…③
又∵點F與點I關于x軸對稱，
∴點I坐標為（0，-1）
∴…④
又∵要使四邊形DFHG的周長最小，由于DF是一個定值，
∴只要使DG+GH+HI最小即可         …（6分）
由圖形的對稱性和①、②、③，可知，
DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有當EI為一條直線時，EG+GH+HI最小
設過E（-2，3）、I（0，-1）兩點的函數解析式為：y=k₁x+b₁（k₁≠0），
分別將點E（-2，3）、點I（0，-1）代入y=k₁x+b₁，得：解得：
過I、E兩點的一次函數解析式為：y=-2x-1
∴當x=-1時，y=1；當y=0時，x=-；
∴點G坐標為（-1，1），點H坐標為（-，0）
∴四邊形DFHG的周長最小為：DF+DG+GH+HF=DF+EI
由③和④，可知：
    DF+EI=
∴四邊形DFHG的周長最小為．…（7分）

（3）如圖⑤，由（2）可知，點A（1，0），點C（-1，4），
設過A（1，0），點C（-1，4）兩點的函數解析式為：y=k₂x+b₂，
得：
解得：，
過A、C兩點的一次函數解析式為：y=-2x+2，當x=0時，y=2，即M的坐標為（0，2）；
由圖可知，△AOM為直角三角形，且，
要使，△AOM與△PCM相似，只要使△PCM為直角三角形，且兩直角邊之比為1：2即可，
設P（a，0），CM=，且∠CPM不可能為90°時，因此可分兩種情況討論；    
①當∠CMP=90°時，CM=，
若，則，
可求的P（-4，0），
則CP=5，CP²=CM²+PM²，即P（-4，0）成立，
若，由圖可判斷不成立；…（10分）
②當∠PCM=90°時，CM=，若，則，
可求出P（-3，0），則PM=，
顯然不成立，
若，則，更不可能成立．
綜上所述，存在以P、C、M為頂點的三角形與△AOM相似，點P的坐標為（-4，0）．
點評：本題考查了二次函數的有關性質及應用，對稱性的性質，三角形相似的性質與判斷，直角三角形的性質和勾股定理，存在性的問題，特別是存在性問題更是中考的常見考點．