Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C，OC=4。
（1）直接填空：c=_______；
（2）點Q是拋物線上一點，且橫坐標為-4。
①若線段BQ的中點為M，如圖1，連結CM，求證：CM⊥BQ；
②如圖2，點P是y軸上一個動點，是否存在這樣的點P，使得△BPQ是直角三角形，如果存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）4；
（2）①連結CQ、BC， 由（1）得：c=4，則拋物線的解析式是 ∵點Q在拋物線上，且橫坐標為-4， ∴當x=-4時，y=6， ∴點Q坐標為（-4，6） 連結QC、BC，作QT⊥y軸于點T，如圖， 令y=0，則，解得：或，則OB=2 在Rt△BOC中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ∴，即△BCQ是等腰三角形， 又點M為線段BQ的中點， ∴CM⊥BQ； ②存在，理由如下： 設P的坐標為（0，n），在△BPQ中， 若，由勾股定理得：， ∴，解得n=10， 此時點的坐標為P1（0，10）， 若，由勾股定理得：， ∴，解得， 此時點P的坐標為， 若，由勾股定理得：， ∴，解得， 此時點P的坐標為或 綜上，存在這樣的點P，使得△BPQ是直角三角形，點P的坐標為：、、或。