Question

26、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P為BC的中點，小明拿著含有30°角的透明直角三角板，使30°角的頂點落在點P上，三角板繞P點旋轉．
（1）如圖1，當三角板的一直角邊和斜邊分別與AB、BC交于點E、F時，連接EF，請說明△BPE∽△CFP；
（2）操作：將三角板繞點P旋轉到圖2情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E、F，連接EF．
①探究1：△BPE與△CFP相似嗎？請說明理由；
②探究2：△BPE與△PFE相似嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）找出△BPE與△CFP的對應角，其中∠BPE+∠CPF=150°，∠CPF+∠CFP=150°，得出∠BPE=∠CFP，從而解決問題；
（2）①小題同前可證，②小題可通過對應邊成比例證明．

解答：證明：（1）∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=150°，
∴∠EPF=30°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=150°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP（兩角對應相等的兩個三角形相似）．
（2）①△BPE∽△CFP；
②△BPE與△PFE相似．
下面證明結論：
同（1），可證△BPE∽△CFP，得 CPBE=PFPE，而CP=BP，因此 BPBE=PFPE．
又因為∠EBP=∠EPF，所以△BPE∽△PFE（兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似）．

點評：這是一道操作探究題，它考查了相似三角形的判定．它以每位學生都有的30°三角板在圖形上的運動為背景，既考查了學生圖形旋轉變換的思想，靜中思動，動中求靜的思維方法，又考查了學生動手實踐、自主探究的能力．